Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k sendo a superfície orientada S definida como parte do parabolóide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, com orientação para cima.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos: queremos calcular o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=xy,i+yz,j+zx,k através da parte do paraboloide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0<= x<=1, 0<= y<=1, com orientação para cima. O conteúdo principal é integral de superfície de um campo vetorial, usando parametrização e produto escalar com o vetor normal.

Passo 2

Para parametrizar a superfície S, definimos
r(x,y)=(x,,y,,4-x^2-y^2), (x,y)in[0,1]times[0,1]
Em seguida, calculamos os vetores parciais:
rx=(1,0,-2x), ry=(0,1,-2y)

Passo 3

O vetor normal orientado para cima é dado por
n=rxtimesry=(2x,,2y,,1)
Logo, o elemento de superfície vetorial é dS=n,dx,dy e o fluxo é
integral duplaSFcdot dS=integral0^1integral0^1F(r(x,y))cdotn,dx,dy

Passo 4

Substituindo z=4-x^2-y^2 em F(x,y,z)=(xy,,y z,,z x) e fazendo o produto escalar com n, obtemos:

Expandindo, isso vira

Passo 5

A integral de superfície fica então:
integral duplaSFcdot dS = integral0^1integral0^1l(2x^2y+8y^2-2x^2y^2-2y^4+4x-x^3-xy^2r),dx,dy

Passo 6

Agora calculamos cada termo separadamente e somamos:
  • integral0^1integral0^1 2x^2y,dx,dy=13
  • integral0^1integral0^1 8y^2,dx,dy=83
  • integral0^1integral0^1 -2x^2y^2,dx,dy=-29
  • integral0^1integral0^1 -2y^4,dx,dy=-25
  • integral0^1integral0^1 4x,dx,dy=2
  • integral0^1integral0^1 -x^3,dx,dy=-14
  • integral0^1integral0^1 -xy^2,dx,dy=-16
    Somando todos esses resultados, obtemos 713180.

Resposta

dfrac713180

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