Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
sendo a superfície orientada
definida como parte do parabolóide
que está acima do quadrado
, com orientação para cima.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos: queremos calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte do paraboloide
que está acima do quadrado
,
, com orientação para cima. O conteúdo principal é integral de superfície de um campo vetorial, usando parametrização e produto escalar com o vetor normal.
Passo 2
Para parametrizar a superfície
, definimos
Em seguida, calculamos os vetores parciais:
Passo 3
O vetor normal orientado para cima é dado por
Logo, o elemento de superfície vetorial é
e o fluxo é
Passo 4
Substituindo
em
e fazendo o produto escalar com
, obtemos:
Expandindo, isso vira
Expandindo, isso vira
Passo 5
A integral de superfície fica então:
Passo 6
Agora calculamos cada termo separadamente e somamos:
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Somando todos esses resultados, obtemos.