Determine o raio e o centro da circunferência descrita pela equação x^2+y^2-2x-6y+1=0

Passo 1

Vamos resolver o problema de determinar o raio e o centro da circunferência dada pela equação $ x^{2} + y^{2} - 2x - 6y + 1 = 0 $. Para isso, vamos utilizar o método de completar o quadrado, que é uma técnica fundamental na álgebra para transformar a equação geral de uma circunferência em sua forma padrão. Isso nos permitirá identificar facilmente o centro x^2 + y^2 - 2x - 6y + 1 = 0 e o raio (h, k) da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de x e os termos de y:
x^2 - 2x + y^2 - 6y = -1
Aqui, nosso objetivo é completar o quadrado para os termos de x e para os termos de y separadamente.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de x:
  1. Pegue o coeficiente de x, que é -2, divida por 2, obtendo -1, e então eleve ao quadrado, resultando em 1.
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 - 6y = -1
Isso nos permite reescrever a parte de x como um quadrado perfeito:
(x - 1)^2 - 1 + y^2 - 6y = -1

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de y:
  1. Pegue o coeficiente de y, que é -6, divida por 2, obtendo -3, e então eleve ao quadrado, resultando em 9.
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
(x - 1)^2 - 1 + y^2 - 6y + 9 - 9 = -1
Isso nos permite reescrever a parte de y como um quadrado perfeito:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 = -1

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 - 10 = -1
Adicionando 10 aos dois lados para isolar os termos quadráticos:
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 9

Passo 6

A equação obtida (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 9 está na forma padrão da equação da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio da circunferência.
Comparando com a nossa equação:
h = 1, k = 3, r^2 = 9

Resposta

O centro da circunferência é (1, 3) e o raio é 3.

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