Determine o raio e o centro da circunferência descrita pela equação
Passo 1
Vamos resolver o problema de determinar o raio e o centro da circunferência dada pela equação $ x^{2} + y^{2} - 2x - 6y + 1 = 0 $. Para isso, vamos utilizar o método de completar o quadrado, que é uma técnica fundamental na álgebra para transformar a equação geral de uma circunferência em sua forma padrão. Isso nos permitirá identificar facilmente o centro
e o raio
da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de
e os termos de
:
Aqui, nosso objetivo é completar o quadrado para os termos de
e para os termos de
separadamente.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
:
- Pegue o coeficiente de
, que é , divida por 2, obtendo , e então eleve ao quadrado, resultando em . - Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso nos permite reescrever a parte de
como um quadrado perfeito:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
- Pegue o coeficiente de
, que é , divida por 2, obtendo , e então eleve ao quadrado, resultando em . - Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso nos permite reescrever a parte de
como um quadrado perfeito:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Adicionando 10 aos dois lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 6
A equação obtida
está na forma padrão da equação da circunferência:
Onde
é o centro e
é o raio da circunferência.
Comparando com a nossa equação:
Resposta
O centro da circunferência é
e o raio é
.