Calcule a integral de superficie integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k
sendo a superficie orientada S definida como parte do parabolóide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, com orientação para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F(x, y, z) = x y i + y z j + z x k. A superfície S é parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, com orientação para cima.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a integral de superfície. Para resolver, vamos dividir isso em passos mais simples e ver como aplicar as fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 acima do quadrado 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. Isso significa que S é uma “tampa” curva sobre esse quadrado no plano xy.
Para calcular a integral de superfície, precisamos expressar dS, que representa um elemento infinitesimal da superfície com sua orientação. Como a orientação é para cima, vamos calcular o vetor normal para a superfície nesse sentido.
A fórmula geral para dS quando a superfície está dada por z = f(x, y) é:
dS = ( -partial zpartial x i - partial zpartial y j + k ) dx dy
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de z = 4 - x^2 - y^2:
partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y
Substituindo na expressão de dS:
dS = ( -(-2x) i - (-2y) j + 1 k ) dx dy = (2x i + 2y j + k) dx dy

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dS:
F cdot dS = (x y i + y z j + z x k) cdot (2x i + 2y j + k) = x y cdot 2x + y z cdot 2y + z x cdot 1
Simplificando:
F cdot dS = 2x^2 y + 2y^2 z + z x

Passo 5

Lembrando que na superfície S, z = 4 - x^2 - y^2. Vamos substituir z na expressão acima:
F cdot dS = 2x^2 y + 2y^2 (4 - x^2 - y^2) + (4 - x^2 - y^2) x
Vamos expandir e simplificar:
= 2x^2 y + 8y^2 - 2x^2 y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - x y^2

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão sobre o domínio 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1:
integral duplaS F cdot dS = integral0^1 integral0^1 ( 2x^2 y + 8y^2 - 2x^2 y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - x y^2 ) dy dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integração em relação a y:
integral0^1 ( 2x^2 y + 8y^2 - 2x^2 y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - x y^2 ) dy
Calculando cada termo:
  1. integral0^1 2x^2 y dy = 2x^2 cdot 12 = x^2
  2. integral0^1 8y^2 dy = 8 cdot 13 = 83
  3. integral0^1 -2x^2 y^2 dy = -2x^2 cdot 13 = -2x^23
  4. integral0^1 -2y^4 dy = -2 cdot 15 = -25
  5. integral0^1 4x dy = 4x cdot 1 = 4x
  6. integral0^1 -x^3 dy = -x^3 cdot 1 = -x^3
  7. integral0^1 -x y^2 dy = -x cdot 13 = -x3
Somando todos os resultados:
x^2 + 83 - 2x^23 - 25 + 4x - x^3 - x3 = (x^2 - 2x^23) + 83 - 25 + 4x - x3 - x^3
Simplificando:
13x^2 + 83 - 25 + 11x3 - x^3

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( 13x^2 + 83 - 25 + 11x3 - x^3 ) dx
Calculando cada termo:
  1. integral0^1 13x^2 dx = 13 cdot 13 = 19
  2. integral0^1 83 dx = 83 cdot 1 = 83
  3. integral0^1 -25 dx = -25 cdot 1 = -25
  4. integral0^1 11x3 dx = 113 cdot 12 = 116
  5. integral0^1 -x^3 dx = -14
Somando todos os resultados:
19 + 83 - 25 + 116 - 14
Vamos encontrar um denominador comum para somar:
O denominador comum é 180.
Convertendo:
20180 + 480180 - 72180 + 330180 - 45180 = 20 + 480 - 72 + 330 - 45180 = 713180
Simplificando:
713180 approx 3.962

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S vale aproximadamente 3,962.

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