Calcule a integral de superficie
para o campo vetorial
sendo a superficie orientada
definida como parte do parabolóide
que está acima do quadrado
, com orientação para cima.
sendo a superficie orientada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
. A superfície
é parte do parabolóide
que está acima do quadrado
e
, com orientação para cima.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a integral de superfície. Para resolver, vamos dividir isso em passos mais simples e ver como aplicar as fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é parte do parabolóide
acima do quadrado
e
. Isso significa que
é uma “tampa” curva sobre esse quadrado no plano
.
Para calcular a integral de superfície, precisamos expressar
, que representa um elemento infinitesimal da superfície com sua orientação. Como a orientação é para cima, vamos calcular o vetor normal para a superfície nesse sentido.
A fórmula geral para
quando a superfície está dada por
é:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que na superfície
,
. Vamos substituir
na expressão acima:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão sobre o domínio
e
:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integração em relação a
:
Calculando cada termo:
Somando todos os resultados:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Calculando cada termo:
Somando todos os resultados:
Vamos encontrar um denominador comum para somar:
O denominador comum é 180.
Convertendo:
Simplificando:
Resposta
A integral de superfície
vale aproximadamente 3,962.