Uma lâmina com densidade constante
ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia
e
e os raios de giração
.
A parte do disco
no primeiro quadrante
A parte do disco
Passo 1
O enunciado pede os momentos de inércia em torno dos eixos x e y e os raios de giração de uma lâmina homogênea (densidade
constante) na região: a parte do disco
no primeiro quadrante. Vamos usar coordenadas polares para facilitar as integrais.
Passo 2
Primeiro calculamos a massa total
integrando a densidade sobre a região. Em coordenadas polares a área do quarto de disco é simples de obter:
Passo 3
Para calcular
usamos a definição
com
. Assim:
Passo 4
Por simetria (troca de
por
), o momento em torno do eixo y fica igual:
Passo 5
Os raios de giração definem-se como
e
. Substituindo
,
e
encontramos:
Resposta
I_x=\frac{\rho\pi a^4}{16}, I_y=\frac{\rho\pi a^4}{16}, \bar{x}=\frac{a}{2}, \bar{y}=\frac{a}{2}.