Uma lâmina com densidade constante rho(x, y)=rho ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia Ix e ly e os raios de giração barx e bary.
A parte do disco x^2+y^2 no primeiro quadrante

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia em torno dos eixos x e y e os raios de giração de uma lâmina homogênea (densidade rho constante) na região: a parte do disco x^2+y^2 no primeiro quadrante. Vamos usar coordenadas polares para facilitar as integrais.

Passo 2

Primeiro calculamos a massa total M integrando a densidade sobre a região. Em coordenadas polares a área do quarto de disco é simples de obter:
M=integralRrho,dA =rhointegral0^pi/2integral0^ar,dr,dtheta =rhocdota^22cdotpi2 =rho,pi a^24

Passo 3

Para calcular Ix usamos a definição Ix=integralR y^2,dm com dm=rho,dA, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta. Assim:
Ix=rhointegral0^pi/2integral0^a(rsintheta)^2,r,dr,dtheta =rhointegral0^pi/2sin^2theta,dtheta;integral0^ar^3,dr =rhocdotpi4cdota^44 =rhopi a^416

Passo 4

Por simetria (troca de x por y), o momento em torno do eixo y fica igual:
Iy=rhopi a^416

Passo 5

Os raios de giração definem-se como barx=raizIx/M e bary=raizIy/M. Substituindo Ix, Iy e M encontramos:
barx=raizIxM=raiz(rhopi a^4/16)(rhopi a^2/4)=a2, bary=a2

Resposta

I_x=\frac{\rho\pi a^4}{16}, I_y=\frac{\rho\pi a^4}{16}, \bar{x}=\frac{a}{2}, \bar{y}=\frac{a}{2}.

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