Calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dado:
x=y^32 e y=4( eixo x=0)

Passo 1

Temos uma região plana limitada pela curva x = y^3/2, pela reta y = 4 e pelo eixo x = 0. O conteúdo aqui é cálculo de volume de sólido de revolução e vamos usar o método dos discos (fatias horizontais).

Passo 2

No método dos discos, cada fatia horizontal em y gera um disco de raio igual à distância do eixo de rotação (linha x=0) até a curva x = y^3/2. Logo, o raio é R(y) = y^3/2. O volume de um disco fino é dado por dV = π [R(y)]^2 , dy.

Passo 3

Substituindo R(y) na expressão de dV, temos dV = π [y^3/2]^2 , dy = π y^3 , dy. A variação de y vai de 0 até 4, pois a região se fecha em (0,0) e (8,4).
Montamos a integral do volume:
V = π integral0^4 y^3 , dy

Passo 4

Calculamos a integral: integral0^4 y^3 , dy = l[y^4/4r]0^4 = 4^4/4 = 256/4 = 64. Logo, multiplicando por π, o volume do sólido de revolução é V = 64π.

Resposta

64\pi

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