Calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dado:
eixo
Passo 1
Temos uma região plana limitada pela curva
, pela reta
e pelo eixo
. O conteúdo aqui é cálculo de volume de sólido de revolução e vamos usar o método dos discos (fatias horizontais).
Passo 2
No método dos discos, cada fatia horizontal em
gera um disco de raio igual à distância do eixo de rotação (linha
) até a curva
. Logo, o raio é
. O volume de um disco fino é dado por
.
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, temos
. A variação de
vai de 0 até 4, pois a região se fecha em
e
.
Montamos a integral do volume:
Montamos a integral do volume:
Passo 4
Calculamos a integral:
. Logo, multiplicando por
, o volume do sólido de revolução é
.
Resposta
64\pi