Calcule a integral de superfície.
integral duplaS x^2 y z d s onde S é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo (0,1) times (0,1)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície integral duplaS x^2 y z,ds onde S é a parte do plano z=1+2x+3y sobre o retângulo (0,1)times(0,1). O tema é integral de superfície de função escalar e vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área.

Passo 2

Parametrizamos a superfície S por r(x,y)=(x,y,1+2x+3y), com (x,y)in[0,1]times[0,1].

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes da parametrização: rx=(1,0,2) e ry=(0,1,3). O produto vetorial deles é
rxtimesry = (-2,-3,1)
e o módulo desse vetor é
|rxtimesry| = raiz14
Logo, ds = raiz14,dx,dy.

Passo 4

Assim, substituindo na integral de superfície, fica
integral duplaS x^2 y z,ds = integral0^1integral0^1 x^2 y (1+2x+3y),raiz14,dy,dx

Passo 5

Fatorando raiz14, calculamos primeiro
integral0^1integral0^1 x^2 y (1+2x+3y),dy,dx = 34

Resposta

3raiz144

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