Demonstre as seguintes identidades supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
Se
, então o volume de
é dado por
.
Se
Passo 1
Neste exercício, queremos provar que o volume de
satisfaz
quando
. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Para resolver, precisamos calcular a divergência de
e, em seguida, aplicar o teorema.
Passo 2
Vamos calcular a divergência de
. Lembrando que
onde
,
e
. Logo,
Passo 3
Aplicamos então o Teorema de Gauss, que diz
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Reconhecendo que
ficamos com
Bastando isolar
para concluir a demonstração.