Demonstre as seguintes identidades supondo que S e V satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
Se F(x, y, z)=(x, y, z), então o volume de V é dado por 1 / 3 integral duplaS F cdot d s.

Passo 1

Neste exercício, queremos provar que o volume de V satisfaz
Vol(V)=13integral duplaSFcdot ds
quando F(x,y,z)=(x,y,z). O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Para resolver, precisamos calcular a divergência de F e, em seguida, aplicar o teorema.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de F. Lembrando que
div,F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z,
onde F1=x, F2=y e F3=z. Logo,
div,F=1+1+1=3

Passo 3

Aplicamos então o Teorema de Gauss, que diz
integral triplaV div,F,dV=integral duplaSFcdot ds
Substituindo div,F=3, obtemos
integral triplaV 3,dV=integral duplaSFcdot ds

Passo 4

Reconhecendo que
integral triplaV 1,dV=Vol(V),
ficamos com
3,Vol(V)=integral duplaSFcdot ds
Bastando isolar Vol(V) para concluir a demonstração.

Resposta

Vol(V)=13integral duplaSFcdot ds

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