Calcule a integral de superfície onde é a parte do cone que está dentro do cilindro no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície . A gente tem um cone dado pela equação e queremos encontrar a parte desse cone que está dentro do cilindro no primeiro octante (onde x, y e z são positivos). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e mudanças de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região S que estamos integrando. O cone pode ser representado em coordenadas cilíndricas, onde , e . No primeiro octante, varia de 0 a .
Passo 3
Como estamos dentro do cilindro , isso significa que , ou seja, . Então, nosso raio varia de 0 a 7.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície S. No cone, . Como estamos no primeiro octante, . Então, podemos expressar a parametrização como:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções de e :
O produto vetorial desses vetores nos dá:
E a magnitude desse vetor é:
Então, .
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui, porque parametrizamos o cone como .
Passo 7
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver isso, fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . A integral vira: