Calcule a integral de superfície integral duplaS y d S onde S é a parte do cone y^2=x^2+z^2 que está dentro do cilindro x^2+z^2=49 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície integral duplaS y , dS. A gente tem um cone dado pela equação y^2 = x^2 + z^2 e queremos encontrar a parte desse cone que está dentro do cilindro x^2 + z^2 = 49 no primeiro octante (onde x, y e z são positivos). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e mudanças de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região S que estamos integrando. O cone y^2 = x^2 + z^2 pode ser representado em coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, z = rsintheta e y = y. No primeiro octante, theta varia de 0 a pi2.

Passo 3

Como estamos dentro do cilindro x^2 + z^2 = 49, isso significa que r^2 = 49, ou seja, r = 7. Então, nosso raio varia de 0 a 7.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície S. No cone, y^2 = r^2. Como estamos no primeiro octante, y = r. Então, podemos expressar a parametrização como:
r(r, theta) = (rcostheta, r, rsintheta)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções de r e theta:
rr = (costheta, 1, sintheta)
rtheta = (-rsintheta, 0, rcostheta)
O produto vetorial desses vetores nos dá:
rr times rtheta = (−costheta, r, -sintheta)
E a magnitude desse vetor é:
|rr times rtheta| = raiz(costheta)^2 + r^2 + (sintheta)^2 = raiz1 + r^2
Então, dS = raiz1 + r^2 , dr , dtheta.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaS y , dS = integral0^pi2 integral0^7 r cdot raiz1 + r^2 , dr , dtheta
Aqui, y = r porque parametrizamos o cone como y = r.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^7 r raiz1 + r^2 , dr
Para resolver isso, fazemos uma substituição: seja u = 1 + r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2. A integral vira:
12 integral1^50 raizu , du = 12 cdot 23 u^32 |1^50 = 13 (50^32 - 1)
Calculando 50^32 = 50 raiz50 = 50 cdot 7,0711 approx 353,55, então:
13 (353,55 - 1) approx 13 cdot 352,55 approx 117,52

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 117,52 , dtheta = 117,52 cdot pi2 approx 117,52 cdot 1,5708 approx 184,6

Resposta

A integral de superfície integral duplaS y , dS vale aproximadamente 184,6.

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