(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
y^prime prime-5 y^prime+4 y=x^-3 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 4y = x^-3e^2x
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar da solução da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é
r^2 - 5r + 4 = 0
que fatoriza em
(r - 1)(r - 4) = 0
Logo as raízes são r1 = 1 e r2 = 4, e a solução homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^4x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, precisamos do Wronskiano das duas soluções fundamentais y1=e^x e y2=e^4x:
W = e^x & e^4x e^x & 4e^4x = e^xcdot4e^4x - e^4xcdot e^x = 3e^5x

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que as derivadas dos novos coeficientes são
u1' = -y2,g(x)W, u2' = y1,g(x)W,
onde g(x)=x^-3e^2x. Substituindo,
u1' = -e^4xcdot x^-3e^2x3e^5x = -13x^-3e^x,
u2' = e^xcdot x^-3e^2x3e^5x = 13x^-3e^-2x

Passo 5

Agora integramos para encontrar u1 e u2:
u1 = -13integral x^-3e^x,dx,
u2 = 13integral x^-3e^-2x,dx
Essas integrais não têm forma elementar simples, então as deixamos em forma de integral.

Passo 6

A solução particular é
yp = u1(x)e^x + u2(x)e^4x
Substituindo u1 e u2 achados:
yp = -e^x3integral x^-3e^x,dx + e^4x3integral x^-3e^-2x,dx

Passo 7

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da homogênea mais a particular:
y(x) = C1 e^x + C2 e^4x - e^x3integral x^-3e^x,dx + e^4x3integral x^-3e^-2x,dx

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{4x} - \frac{e^x}{3}\int x{-3}e{x},dx + \frac{e^{4x}}{3}\int x{-3}e{-2x},dx

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