(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar da solução da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é
que fatoriza em
Logo as raízes são
e
, e a solução homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, precisamos do Wronskiano das duas soluções fundamentais
e
:
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que as derivadas dos novos coeficientes são
onde
g(x)=x^-3e^2x . Substituindo,
Passo 5
Agora integramos para encontrar
u1 e
u2 :
Essas integrais não têm forma elementar simples, então as deixamos em forma de integral.
Passo 6
A solução particular é
Substituindo
u1 e
u2 achados:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da homogênea mais a particular:
Resposta
y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{4x} - \frac{e^x}{3}\int x{-3}e{x},dx + \frac{e^{4x}}{3}\int x{-3}e{-2x},dx