(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
Passo 1
O problema é resolver a EDO não homogênea
usando variação de parâmetros, ou seja, precisamos encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular via funções
e
.
Passo 2
Começando pela homogênea associada
, a equação característica é
, com raízes
. Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
Para variação de parâmetros, assumimos
Precisamos também do Wronskiano
Passo 4
As fórmulas do método dão
Passo 5
Agora integramos para encontrar
e
. Usando identidades de produto em soma, obtemos após calcular:
Passo 6
Substituindo em
e simplificando razoavelmente, percebe-se que toda essa expressão se reduz à forma simples
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular. Assim
Resposta
y(x)=C_{1}\cos(\sqrt{2}x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}x)+\cos(x)