(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
y^prime prime+2 y=cos (x)

Passo 1

O problema é resolver a EDO não homogênea y''+2y=cos(x) usando variação de parâmetros, ou seja, precisamos encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular via funções u1(x) e u2(x).

Passo 2

Começando pela homogênea associada y''+2y=0, a equação característica é r^2+2=0, com raízes r=pm iraiz2. Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=cos(raiz2x), y2(x)=sin(raiz2x)

Passo 3

Para variação de parâmetros, assumimos
yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
Precisamos também do Wronskiano
W=y1y2'-y1'y2=raiz2

Passo 4

As fórmulas do método dão
u1'=-f(x),y2W=-cos(x),sin(raiz2x)raiz2, u2'=f(x),y1W=cos(x),cos(raiz2x)raiz2

Passo 5

Agora integramos para encontrar u1 e u2. Usando identidades de produto em soma, obtemos após calcular:
u1(x)=12raiz2l(cos((raiz2+1)x)raiz2+1+cos((raiz2-1)x)raiz2-1r),
u2(x)=12raiz2l(sin((raiz2-1)x)raiz2-1+sin((raiz2+1)x)raiz2+1r)

Passo 6

Substituindo em yp=u1y1+u2y2 e simplificando razoavelmente, percebe-se que toda essa expressão se reduz à forma simples
yp(x)=cos(x)

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular. Assim
y(x)=C1cos(raiz2x)+C2sin(raiz2x)+cos(x)

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(\sqrt{2}x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}x)+\cos(x)

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