(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO pelo método da variação de parâmetros. Vamos usar como ponto de partida a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular via variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada . A equação característica é , cujas raízes são e . Logo, um sistema fundamental de soluções é
Passo 3
Agora aplicamos o método da variação de parâmetros. Precisamos do Wronskiano
As fórmulas para os coeficientes variáveis são
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x),
nu2'(x) = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=ln(x). Substituindo, obtemos
nu1'(x)=ln(x)e^-x4e^2x=tfrac14e^-3xln(x),
nu2'(x)=-ln(x)e^3x4e^2x=-tfrac14e^xln(x)
Passo 4
Precisamos agora integrar nu1'(x) e nu2'(x). Para isso usamos integração por partes e reconhecemos a função integral exponencial Ei(x):
integral e^-3xln(x),dx = -tfrac13e^-3xln(x) + tfrac13Ei(-3x) + C,