(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - 2y' - 3y = ln(x) pelo método da variação de parâmetros. Vamos usar como ponto de partida a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular via variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada y'' - 2y' - 3y = 0. A equação característica é r^2 - 2r -3 = 0, cujas raízes são r=3 e r=-1. Logo, um sistema fundamental de soluções é
y1(x) = e^3x,
y2(x) = e^-x

Passo 3

Agora aplicamos o método da variação de parâmetros. Precisamos do Wronskiano
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^3x(-e^-x) - (3e^3x)e^-x = -4e^2x
As fórmulas para os coeficientes variáveis são
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x),
nu2'(x) = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=ln(x). Substituindo, obtemos
nu1'(x)=ln(x)e^-x4e^2x=tfrac14e^-3xln(x),
nu2'(x)=-ln(x)e^3x4e^2x=-tfrac14e^xln(x)

Passo 4

Precisamos agora integrar nu1'(x) e nu2'(x). Para isso usamos integração por partes e reconhecemos a função integral exponencial Ei(x):
integral e^-3xln(x),dx = -tfrac13e^-3xln(x) + tfrac13Ei(-3x) + C,
integral e^xln(x),dx = e^xln(x) - Ei(x) + C
Logo,
nu1(x)=tfrac14integral e^-3xln(x),dx = -tfrac112e^-3xln(x) + tfrac112Ei(-3x),
nu2(x)=-tfrac14integral e^xln(x),dx = -tfrac14e^xln(x) + tfrac14Ei(x)

Passo 5

A solução particular fica dada por
yp = nu1(x)y1(x) + nu2(x)y2(x)
Substituindo y1=e^3x, y2=e^-x e as expressões de nu1,nu2, e simplificando os termos, obtemos
yp(x)=-tfrac13ln(x)+tfrace^3x12Ei(-3x)+tfrace^-x4Ei(x)

Passo 6

Somando a solução homogênea e a particular, concluímos que a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^3x+C2e^-x-tfrac13ln(x)+tfrace^3x12Ei(-3x)+tfrace^-x4Ei(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e{3x}+C_{2}e{-x}-\tfrac{1}{3}\ln(x)+\tfrac{e{3x}}{12}\mathrm{Ei}(-3x)+\tfrac{e{-x}}{4}\mathrm{Ei}(x)

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