Calcule a integral de superfície.
, onde
é a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de superfície
, em que
é o pedaço do paraboloide
limitado por
. O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar, e vamos precisar usar a fórmula
e depois fazer uma mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de área, calculamos as derivadas parciais de
:
e
. Assim,
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Passo 4
Para calcular
, usamos a substituição
, de modo que
e
. Com isso
Passo 5
Integrando em
e avaliando de
a
, obtemos
Passo 6
Multiplicando por
e simplificando, chegamos ao valor da integral de superfície: