Calcule a integral de superfície.
integral duplaS z d S, onde S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está abaixo do plano z=4

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS z,dS, em que S é o pedaço do paraboloide z = x^2 + y^2 limitado por z = 4. O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar, e vamos precisar usar a fórmula dS = raiz1 + zx^2 + zy^2,dA e depois fazer uma mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de área, calculamos as derivadas parciais de z(x,y)=x^2+y^2: zx = 2x e zy = 2y. Assim,
dS = raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2,dA = raiz1 + 4x^2 + 4y^2,dA

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral duplaS z,dS = integral duplaD (x^2 + y^2)raiz1 + 4(x^2 + y^2),dA, onde D é o disco x^2+y^2 <= 4. Em coordenadas polares x = rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta e x^2+y^2=r^2. O raio vai de 0 a 2 e theta de 0 a 2pi. Logo
integral duplaS z,dS = integral0^2piintegral0^2 r^2 raiz1 + 4r^2;r,dr,dtheta = 2pi integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2,dr

Passo 4

Para calcular integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2,dr, usamos a substituição u = 1 + 4r^2, de modo que du = 8r,dr e r^2 = (u - 1)/4. Com isso
integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2,dr = 132 integral1^17 (u - 1),u^1/2,du = 132 integral1^17 (u^3/2 - u^1/2),du

Passo 5

Integrando em u e avaliando de 1 a 17, obtemos
integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2,dr = 3,17^5/2 - 5,17^3/2 + 2240

Passo 6

Multiplicando por 2pi e simplificando, chegamos ao valor da integral de superfície:
integral duplaS z,dS = pil(23,17^3/2 + 1r)60

Resposta

integral duplaS z,dS = pil(23,17^3/2 + 1r)60

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