Se
F(x, y, z)=z^21+x^2 i+x^21+y^2 j+y^21+z^2 k
Encontre integral duplaS F cdot d S correta até a quarta casa decimal.
r(u, v)=v^2 i-u v j+u^2 k, 0 <= u <= 3,-3 <= v <= 3

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F através da superfície parametrizada por r(u,v)=lang<= v^2,-uv,u^2rang<=, com 0<= u<=3 e -3<= v<=3. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial em parametrização, e vamos usar o produto vetorial rutimes rv e a definição integral duplaS Fcdot d S=integral duplaD F( r(u,v))cdot( rutimes rv),du,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
ru=lang<=0,-v,2urang<=, rv=lang<=2v,-u,0rang<=
e em seguida o produto vetorial:
rutimes rv=lang<=2u^2,,4uv,,2v^2rang<=

Passo 3

Substituímos na integral o campo em (x,y,z)=(v^2,-uv,u^2):
F=(tfracu^41+v^4,,tfracv^41+u^2v^2,,tfracu^2v^21+u^4),
e calculamos o produto escalar
Fcdot( rutimes rv) =2u^61+v^4+4u,v^51+u^2v^2+2u^2v^41+u^4

Passo 4

Observamos que o termo intermediário é ímpar em v e se anula na integração simétrica vin[-3,3]. Restam duas integrais:
I1=integral0^3integral-3^3 2u^61+v^4,dv,du, I3=integral0^3integral-3^3 2u^2v^41+u^4,dv,du

Passo 5

Fatoramos cada integral:
I1=4l(integral0^3u^6dur)l(integral0^3dv1+v^4r), I3=9725integral0^3u^21+u^4,du
Chamamos
A=integral0^3dv1+v^4, B=integral0^3u^21+u^4,du

Passo 6

Fizemos integração numérica (Regra de Simpson com passo h=0.25) e obtivemos
Aapprox1.098426, Bapprox0.778340

Passo 7

Finalmente:
I1=43^77,Aapprox1372.7167, I3=9725,Bapprox151.3090
Somando, o fluxo total é I1+I3approx1524.0257.

Resposta

1524.0257

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