Escreva, mas não calcule, uma integral que dê a área da superfície S. r(u, v)=v^2 i-u v j+u^2 k, 0 <= u <= 3,-3 <= v <= 3 Passo 1O enunciado pede a área da superfície parametricamente definida por r(u,v)=lang<= v^2,,-uv,,u^2rang<= no domínio 0<= u<= 3, -3<= v<=3. O conteúdo é área de superfície paramétrica e vamos precisar usar a fórmula integral duplaDllVertrutimesrvrrVert,dA. Passo 2Calculamos as derivadas parciais de r(u,v): ru=partialrpartial u=lang<=0,,-v,,2urang<=, rv=partialrpartial v=lang<=2v,,-u,,0rang<= Passo 3Agora fazemos o produto vetorial rutimesrv: rutimesrv= i&j&k 0&-v&2u 2v&-u&0 =lang<=2u^2,,4uv,,2v^2rang<= Passo 4Em seguida achamos o módulo desse vetor: llVertrutimesrvrrVert=raiz(2u^2)^2+(4uv)^2+(2v^2)^2 =2raizu^4+4u^2v^2+v^4 Passo 5Finalmente, montamos a integral dupla da área sobre o domínio D=[0,3]times[-3,3]: integral duplaDllVertrutimesrvrrVert,dA =integralu=0^3integralv=-3^32raizu^4+4u^2v^2+v^4,dv,du Resposta Área(S)=integralu=0^3integralv=-3^32raizu^4+4u^2v^2+v^4,dv,duÁ MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine uma equação do plano tangente no ponto (4,-2,1) à superfície parametrizada S dada por r(u, v)=v^2 i-u v j+u^2 k, 0 <= u <= 3,-3 <= v <= 3 Calcule as derivadas. y=10^1-x^2 Se F(x, y, z)=z^21+x^2 i+x^21+y^2 j+y^21+z^2 k Encontre integral duplaS F cdot d S correta até a quarta casa decimal. r(u, v)=v^2 i-u v j+u^2 k, 0 <= u <= 3,-3 <= v <= 3