Escreva, mas não calcule, uma integral que dê a área da superfície S.
r(u, v)=v^2 i-u v j+u^2 k, 0 <= u <= 3,-3 <= v <= 3

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametricamente definida por r(u,v)=lang<= v^2,,-uv,,u^2rang<= no domínio 0<= u<= 3, -3<= v<=3. O conteúdo é área de superfície paramétrica e vamos precisar usar a fórmula integral duplaDllVertrutimesrvrrVert,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de r(u,v):
ru=partialrpartial u=lang<=0,,-v,,2urang<=,
rv=partialrpartial v=lang<=2v,,-u,,0rang<=

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial rutimesrv:
rutimesrv= i&j&k 0&-v&2u 2v&-u&0 =lang<=2u^2,,4uv,,2v^2rang<=

Passo 4

Em seguida achamos o módulo desse vetor:
llVertrutimesrvrrVert=raiz(2u^2)^2+(4uv)^2+(2v^2)^2 =2raizu^4+4u^2v^2+v^4

Passo 5

Finalmente, montamos a integral dupla da área sobre o domínio D=[0,3]times[-3,3]:
integral duplaDllVertrutimesrvrrVert,dA =integralu=0^3integralv=-3^32raizu^4+4u^2v^2+v^4,dv,du

Resposta

Área(S)=integralu=0^3integralv=-3^32raizu^4+4u^2v^2+v^4,dv,duÁ

Exercícios relacionados