Calcule a integral de superfície
onde
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do paraboloide
limitada pelo cilindro
. Aqui o conteúdo é integral de superfície de um campo escalar sobre a superfície dada como gráfico
. Vamos usar a fórmula do elemento de área para um gráfico
:
.
Passo 2
Como
é o gráfico de
, calculamos as derivadas parciais:
Então
Passo 3
Substituindo na integral de superfície, temos
Passo 4
O jacobiano vale
e
, então a integral fica
Passo 5
Para calcular
, fazemos a substituição
,
. Note que
. Assim
Integrando,
Passo 6
Voltando à integral de superfície, multiplicamos por
: