Calcule a integral de superfície integral duplaS x d S onde S é a parte do paraboloide x=y^2+z^2 que está dentro do cilindro y^2+z^2=16.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x,dS, onde S é a parte do paraboloide x = y^2 + z^2 limitada pelo cilindro y^2 + z^2 = 16. Aqui o conteúdo é integral de superfície de um campo escalar sobre a superfície dada como gráfico x = f(y,z). Vamos usar a fórmula do elemento de área para um gráfico x = f(y,z): dS = raiz1 + fy^2 + fz^2,dy,dz.

Passo 2

Como S é o gráfico de f(y,z)=y^2+z^2, calculamos as derivadas parciais: fy = 2y, fz = 2z Então
dS = raiz1 + (2y)^2 + (2z)^2,dy,dz = raiz1 + 4(y^2+z^2),dy,dz

Passo 3

Substituindo na integral de superfície, temos
integral duplaS x,dS = integral duplaD (y^2+z^2)raiz1 + 4(y^2+z^2),dy,dz, onde D é o disco y^2+z^2<=16 no plano (y,z). Para facilitar, passamos a coordenadas polares:
y = rcostheta, z = rsintheta, 0 <= r <= 4, ; 0 <= theta <= 2pi

Passo 4

O jacobiano vale r e y^2+z^2 = r^2, então a integral fica
integral duplaS x,dS = integral0^2piintegral0^4 r^2 raiz1+4r^2;r,dr,dtheta = 2pi integral0^4 r^3 raiz1+4r^2,dr

Passo 5

Para calcular I = integral0^4 r^3 raiz1+4r^2,dr, fazemos a substituição u = 1+4r^2, du = 8r,dr. Note que r^3,dr = r^2,(r,dr) = tfracu-14cdottfracdu8 = tfracu-132du. Assim
I = integralu=1^65 tfracu-132,u^1/2,du = 132integral1^65 (u^3/2 - u^1/2),du
Integrando,
I = 132[ 25u^5/2 - 23u^3/2 ]1^65 = 132(2565^5/2 - 2365^3/2 + 415)

Passo 6

Voltando à integral de superfície, multiplicamos por 2pi:
integral duplaS x,dS = 2pi,I = 2pi32(2565^5/2 - 2365^3/2 + 415) = pi8(65^5/25 - 65^3/23 + 215)

Resposta

integral duplaS x,dS = pi8l(65^5/25 - 65^3/23 + 215r)

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