Se g for duas vezes drivável e f(x)=x^2 g(x^2), encontre f^prime prime em termos de g, g^prime e g^prime prime.

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)=x^2g(x^2), sabendo que g é duas vezes derivável. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para chegar em f''(x).

Passo 2

Primeiro a gente encontra f'(x). Note que f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^2 e v(x)=g(x^2). Pela regra do produto (uv)'=u'v+uv' e pela regra da cadeia v'(x)=g'(x^2)cdot2x, temos:
f'(x)=2x,g(x^2)+x^2cdot(g'(x^2)cdot2x)=2x,g(x^2)+2x^3,g'(x^2)

Passo 3

Agora derivamos cada termo de f'(x) separadamente. Para o primeiro termo 2x,g(x^2):
ddx[2x,g(x^2)] = 2,g(x^2) + 2xcdot(g'(x^2)cdot2x) = 2g(x^2) + 4x^2g'(x^2)
E para o segundo termo 2x^3,g'(x^2):
ddx[2x^3,g'(x^2)] = 6x^2,g'(x^2) + 2x^3cdot(g''(x^2)cdot2x) = 6x^2g'(x^2) + 4x^4g''(x^2)

Passo 4

Somando os resultados e agrupando termos semelhantes, obtemos:
f''(x)=2g(x^2)+(4x^2+6x^2)g'(x^2)+4x^4g''(x^2)=2g(x^2)+10x^2g'(x^2)+4x^4g''(x^2)

Resposta

f''(x)=2g(x^2)+10x^2g'(x^2)+4x^4g''(x^2)

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