Questão 2. Calcule a integral tripla.
, onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
, acima do plano
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de
sobre a região
. A região
está limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
,
, e está acima do plano
.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e definir os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O cilindro
tem raio 3 e está alinhado ao longo do eixo
. Os planos
e
definem os limites para
. O plano
é o plano
, e estamos considerando a parte acima dele, ou seja,
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
-
Para
: O cilindro nos diz que varia de -3 a 3. -
Para
: Dado o plano e , para um valor fixo de , varia de 0 até . -
Para
: Como estamos acima do plano e dentro do cilindro , para um valor fixo de , varia de 0 até .
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral tripla com esses limites:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de -3 a 3:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 8
Como a função
é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos multiplicar a integral de 0 a 3 por 2:
Integrando termo a termo:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla é igual a
.