Questão 2. Calcule a integral tripla.
integral triplaE(x z+3 z) d V, onde E é a região limitada pelo cilindro x^2+z^2=9 e pelos planos x+y=3, z=0, y=0, acima do plano x y Resp: 6485

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região . A região está limitada pelo cilindro e pelos planos , , , e está acima do plano .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e definir os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . O cilindro tem raio 3 e está alinhado ao longo do eixo . Os planos e definem os limites para . O plano é o plano , e estamos considerando a parte acima dele, ou seja, .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • Para : O cilindro nos diz que varia de -3 a 3.
  • Para : Dado o plano e , para um valor fixo de , varia de 0 até .
  • Para : Como estamos acima do plano e dentro do cilindro , para um valor fixo de , varia de 0 até .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral tripla com esses limites:
integral triplaE(x z + 3 z) , dV = integralx=-3^3 integraly=0^3 - x integralz=0^raiz9 - x^2 (x z + 3 z) , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a integral0^raiz9 - x^2 (x z + 3 z) , dz = integral0^raiz9 - x^2 z (x + 3) , dz = (x + 3) integral0^raiz9 - x^2 z , dz :
(x + 3) [ 12 z^2 ]0^raiz9 - x^2 = (x + 3) ( 12 (9 - x^2) ) = (x + 3)(9 - x^2)2
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^3 - x (x + 3)(9 - x^2)2 , dy = (x + 3)(9 - x^2)2 integral0^3 - x dy = (x + 3)(9 - x^2)2 cdot (3 - x) de 0 a (x + 3)(9 - x^2)(3 - x)2 :
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral-3^3 (x + 3)(9 - x^2)(3 - x)2 , dx = 12 integral-3^3 (x + 3)(9 - x^2)(3 - x) , dx de -3 a 3:
(x + 3)(3 - x) = 3x - x^2 + 9 - 3x = -x^2 + 9
Vamos expandir 12 integral-3^3 (-x^2 + 9)(9 - x^2) , dx = 12 integral-3^3 (-x^2 cdot 9 + x^4 + 81 - 9x^2) , dx = 12 integral-3^3 (-9x^2 + x^4 + 81 - 9x^2) , dx :
12 integral-3^3 (x^4 - 18x^2 + 81) , dx
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 8

Como a função 12 cdot 2 integral0^3 (x^4 - 18x^2 + 81) , dx = integral0^3 (x^4 - 18x^2 + 81) , dx é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos multiplicar a integral de 0 a 3 por 2:
integral0^3 x^4 , dx - 18 integral0^3 x^2 , dx + 81 integral0^3 1 , dx = [ x^55 ]0^3 - 18 [ x^33 ]0^3 + 81 [ x ]0^3
Integrando termo a termo:
3^55 - 0 - 18 ( 273 - 0 ) + 81 (3 - 0) = 2435 - 18 cdot 9 + 243 = 2435 - 162 + 243
Calculando cada parte:
2435 + 81 = 243 + 4055 = 6485
Simplificando:

Resposta

A integral tripla é igual a .

Exercícios relacionados