Calcule a integral de superfície onde é a parte do plano que está acima do retângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está acima do retângulo definido por e .
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o plano e calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Ela serve para somar valores de uma função sobre uma superfície no espaço. Aqui, nossa função é e a superfície é o plano acima do retângulo dado.
Passo 3
Para calcular a integral, precisamos expressar tudo em termos de e , já que o retângulo está no plano . O plano está dado por , então qualquer ponto na superfície pode ser descrito como .
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de área . Para um plano dado por , o elemento de área é dado por:
No nosso caso, e , então:
Passo 5
Agora, substituímos na função pelo valor do plano:
Expandindo essa expressão:
Passo 6
Agora, montamos a integral de superfície substituindo e :
Onde é o retângulo e .
Passo 7
Vamos fatorar a constante para fora da integral:
Agora, calculamos a integral dupla passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a , mantendo constante: