Calcule a integral de superfície integral duplaS y z d S onde S é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS y z , dS, onde S é a parte do plano z = 1 + 2x + 3y que está acima do retângulo definido por x in [0, 3] e y in [0, 2].
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o plano e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Ela serve para somar valores de uma função sobre uma superfície no espaço. Aqui, nossa função é f(x, y, z) = y z e a superfície S é o plano z = 1 + 2x + 3y acima do retângulo dado.

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos expressar tudo em termos de x e y, já que o retângulo está no plano xy. O plano está dado por z = 1 + 2x + 3y, então qualquer ponto na superfície S pode ser descrito como (x, y, 1 + 2x + 3y).

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS. Para um plano dado por z = a + b x + c y, o elemento de área é dado por:
dS = raizb^2 + c^2 + 1 , dx , dy
No nosso caso, b = 2 e c = 3, então:
dS = raiz2^2 + 3^2 + 1 , dx , dy = raiz4 + 9 + 1 , dx , dy = raiz14 , dx , dy

Passo 5

Agora, substituímos z na função f(x, y, z) = y z pelo valor do plano:
f(x, y) = y (1 + 2x + 3y)
Expandindo essa expressão:
f(x, y) = y + 2xy + 3y^2

Passo 6

Agora, montamos a integral de superfície substituindo f(x, y) e dS:
integral duplaS y z , dS = integral duplaR (y + 2xy + 3y^2) raiz14 , dx , dy
Onde R é o retângulo 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 2.

Passo 7

Vamos fatorar a constante raiz14 para fora da integral:
raiz14 integral duplaR (y + 2xy + 3y^2) , dx , dy
Agora, calculamos a integral dupla passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a x, mantendo y constante:
integral0^3 (y + 2xy + 3y^2) , dx = integral0^3 y , dx + integral0^3 2xy , dx + integral0^3 3y^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^3 y , dx = y cdot x |0^3 = 3y
integral0^3 2xy , dx = 2y cdot x^22 |0^3 = y cdot 9 = 9y
integral0^3 3y^2 , dx = 3y^2 cdot x |0^3 = 9y^2
Somando tudo:
3y + 9y + 9y^2 = 12y + 9y^2

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^2 (12y + 9y^2) , dy = integral0^2 12y , dy + integral0^2 9y^2 , dy
Calculando cada parte:
integral0^2 12y , dy = 12 cdot y^22 |0^2 = 6 cdot 4 = 24
integral0^2 9y^2 , dy = 9 cdot y^33 |0^2 = 3 cdot 8 = 24
Somando tudo:
24 + 24 = 48

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelo raiz14 que havia fatorado no início:
raiz14 cdot 48 = 48 raiz14

Resposta

A integral de superfície integral duplaS y z , dS é igual a 48 raiz14.

Exercícios relacionados