Suponha que a densidade de probabilidade em x seja definida pela função p(x)=A sen^2(x) para 0 <= x <= pi.
Calcule a constante A sabendo que a probabilidade, P(a-b)=integrala^b p(x) d x de o evento acontecer dentro do intervalo definido no enunciado deve ser 1 .

Passo 1

O enunciado define uma função densidade de probabilidade contínua em x como p(x)=Asin^2(x) no intervalo 0<= x<=pi, e pede para encontrar a constante A tal que integral0^pi p(x),dx=1. O conteúdo envolve probabilidade contínua e cálculo de integrais definidas.

Passo 2

Para normalizar a densidade, escrevemos a condição de normalização: integral0^pi Asin^2(x),dx=1

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica sin^2(x)=tfrac1-cos(2x)2 para facilitar a integração.
Substituindo na integral temos: integral0^pi sin^2(x),dx=integral0^pi 1-cos(2x)2,dx=12integral0^pi 1,dx-12integral0^pi cos(2x),dx

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente. Primeiro: 12integral0^pi 1,dx=12l[xr]0^pi=pi2 O segundo termo é nulo porque integral0^pi cos(2x),dx=[sin(2x)2]0^pi=0 Portanto integral0^pi sin^2(x),dx=pi2

Passo 5

Voltando à condição de normalização, temos Acdotpi2=1, de onde A=2pi

Resposta

A=2pi

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