Resolva as Integrais Indefinidas abaixo:
integral x^3raizx^2+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3raizx^2+2,dx. O conteúdo envolve técnicas de integração, em especial a substituição para funções envolvendo raiz quadrada de polinômio.

Passo 2

Para facilitar a substituição, reescrevemos x^3 como xcdot x^2. Assim,
integral x^3raizx^2+2,dx = integral x,(x^2)raizx^2+2,dx
Escolhemos a substituição u = x^2 + 2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = du2. Além disso, x^2 = u - 2.

Passo 3

Substituindo em termos de u:
integral x^3raizx^2+2,dx = integral (u-2)raizu cdot du2 = tfrac12 integral l(u^1/2 - 2u^-1/2r) du
Agora integramos cada termo:
tfrac12 integral u^1/2,du = tfrac12 cdot 23u^3/2 = 13u^3/2,
tfrac12 integral (-2u^-1/2),du = -tfrac12 cdot 2 cdot 2u^1/2 = -2u^1/2
Somando os resultados e voltando a x:
integral x^3raizx^2+2,dx = 13u^3/2 - 2u^1/2 + C = 13(x^2+2)^3/2 - 2(x^2+2)^1/2 + C

Resposta

13(x^2+2)^3/2 - 2raizx^2+2 + C

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