1. sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita sumk=1^infty(-1)^k k^32^k+2. O conteúdo principal envolve soma de séries de potências ponderadas por k^3, o que normalmente resolvemos usando a função geratriz sumk=1^infty k^3 x^k.

Passo 2

Vamos isolar o fator constante e reescrever a soma em termos de x^k. Note que
sumk=1^infty(-1)^k k^32^k+2 = 12^2sumk=1^infty (-1)^kk^32^k = 14sumk=1^infty k^3 l(!-tfrac12r)^k

Passo 3

Relembrando a fórmula de série de potências para o terceiro momento, válida para |x|<1:
sumk=1^infty k^3 x^k = xl(1 + 4x + x^2r)(1 - x)^4

Passo 4

Aqui temos x = -tfrac12. Então definimos
T = sumk=1^infty k^3 l(-tfrac12r)^k = l(-tfrac12r)l(1 + 4(-tfrac12) + (-tfrac12)^2r)l(1 - (-tfrac12)r)^4

Passo 5

Agora calculamos numerador e denominador:
numerador = -tfrac12l(1 - 2 + tfrac14r) = -tfrac12l(-tfrac34r) = tfrac38,
denominador = l(1 + tfrac12r)^4 = l(tfrac32r)^4 = tfrac8116

Passo 6

Isso dá
T = 3/881/16 = 38cdot1681 = 48648 = 227

Passo 7

Por fim, voltamos a S:
S = 14T = 14cdot227 = 2108 = 154

Resposta

154

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