Use a definição de limite para provar que
lim (x, y) (2,0) (x-2)^2 y^2(x-2)^2+y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de uma função de duas variáveis quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (2, 0) $ é igual a 0. O conteúdo aqui é sobre limites de funções de várias variáveis, e para resolver isso, vamos usar a definição de limite com $ \varepsilon $ e $ \delta $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite $ \lim_{(x, y) \rightarrow (2,0)} f(x, y) = 0 $. Isso quer dizer que para qualquer número pequeno $ \varepsilon > 0 $, a gente consegue encontrar um raio $ \delta > 0 $ tal que, se $ (x, y) $ estiver dentro desse raio em torno de $ (2, 0) $ (mas diferente de $ (2, 0) $ mesmo), então o valor de $ f(x, y) $ vai estar menos que $ \varepsilon $ de 0.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função:
f(x, y) = (x-2)^2 y^2(x-2)^2 + y^2
Queremos mostrar que $ |f(x, y)| < \varepsilon $ sempre que $ \sqrt{(x-2)^2 + y^2} < \delta $.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar $ |f(x, y)| $:
|f(x, y)|
Como todas as partes estão ao quadrado, não precisamos do valor absoluto.

Passo 5

Agora, vamos notar que tanto $ (x-2)^2 $ quanto $ y^2 $ são menores que $ \delta^2 $ quando $ \sqrt{(x-2)^2 + y^2} < \delta $. Portanto:
(x-2)^2

Passo 6

Substituindo essas desigualdades na função:
|f(x, y)| = (x-2)^2 y^2(x-2)^2 + y^2 <= de

Passo 7

Como $ (x-2)^2 + y^2 \geq \min{(x-2)^2, y^2} $, e ambos são maiores que 0 dentro do raio $ \delta $, podemos simplificar para:
(x-2)^2 + y^2 >= min(x-2)^2, y^2
Isso porque $ (x-2)^2 + y^2 \geq \delta^2 $ quando $ \sqrt{(x-2)^2 + y^2} < \delta $.

Passo 8

Agora, queremos que $ |f(x, y)| < \varepsilon $. Com a desigualdade que encontramos:
|f(x, y)| < varepsilon
Para garantir isso, basta escolher $ \delta $ tal que:
de

Resposta

Portanto, para todo $ \varepsilon > 0 $, escolhendo $ \delta = \sqrt{\varepsilon} $, garantimos que $ |f(x, y)| < \varepsilon $ sempre que $ \sqrt{(x-2)^2 + y^2} < \delta $. Assim, provamos que:
varepsilon > 0

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