Calcule a integral de superfície.
integral duplaS y d S, S é a superfície z=23(x^3 / 2+y^32), 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS y,dS, onde a superfície S está dada por z=23l(x^3/2+y^3/2r) no domínio 0<= x<=1, 0<= y<=1. O conteúdo é integral de superfície de função escalar, e vamos precisar usar a fórmula dS=raiz1+zx^2+zy^2,dx,dy.

Passo 2

Para usar a parametrização explícita vec r(x,y)=(x,y,z(x,y)), calculamos as derivadas parciais:
zx=partialpartial xl(tfrac23x^3/2r)=x^1/2,
zy=partialpartial yl(tfrac23y^3/2r)=y^1/2
Logo
raiz1+zx^2+zy^2=raiz1+x+y

Passo 3

Substituindo em integral duplaS y,dS obtemos
integral duplaS y,dS=integral0^1integral0^1 yraiz1+x+y,dx,dy

Passo 4

Primeiro integramos em relação a x. Para y fixo,
integral0^1raiz1+y+x,dx =integralu=1+y^2+yraizu,du =23l[(2+y)^3/2-(1+y)^3/2r]
Então a integral vira
integral0^1 ycdot23l[(y+2)^3/2-(y+1)^3/2r]dy =23integral0^1 yl[(y+2)^3/2-(y+1)^3/2r]dy

Passo 5

Para a integral integral0^1 y(y+a)^3/2dy usamos a substituição u=y+a, o que leva a expressar
I(a)=integral0^1y(y+a)^3/2dy =integralu=a^a+1(u-a)u^3/2du =l[tfrac27u^7/2-atfrac25u^5/2r]u=a^a+1
Definindo
I1=I(2), I2=I(1),
aplicamos na expressão com o fator tfrac23 e subtraímos I1-I2.

Passo 6

Depois de substituir os limites e simplificar, chegamos a um valor aproximado
integral duplaSy,dSapprox0,7325

Resposta

0,7325 (aproximadamente)

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