Questão 8. Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
x, & 0

Passo 1

O enunciado pede para, dado o trecho de função f(x) em 0, construir sua extensão par e sua extensão ímpar e, em seguida, obter as séries de Fourier correspondentes (respectivamente em cossenos e em senos). Vamos usar o intervalo padrão -pi< x e as fórmulas de série de Fourier para funções pares e ímpares.

Passo 2

Para a extensão par de f(x), definimos fe(x)=f(|x|), que é par em -pi,pi. A série de Fourier de uma função par é só em cossenos:
fe(x)=a02+sumn=1^inftyancos(nx)
onde
an=2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx

Passo 3

Calculamos primeiro
integral0^pif(x),dx=integral0^pi/2x,dx+integralpi/2^pi(pi-x),dx=pi^28+pi^28=pi^24

Passo 4

Logo
a0=2picdotpi^24=pi2

Passo 5

Para n>=1
$$a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx),dx
=\frac{2}{\pi n{2}}\Bigl[2\cos\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)-1-(-1){n}\Bigr].$$

Passo 6

Analisando cos(npi/2) e (-1)^n, nota-se que an só é não nulo quando nequiv2pmod4. Escrevendo n=2(2k+1),
a2(2k+1)=-2pi(2k+1)^2, a4k=0, a2m+1=0

Passo 7

Portanto a expansão par fica
fe(x)=pi4-2pisumk=0^inftycosl(2(2k+1)xr)(2k+1)^2

Passo 8

Para a extensão ímpar de f(x), definimos fo(x)=sgn(x),f(|x|). A série de Fourier de uma função ímpar é só em senos:
fo(x)=sumn=1^inftybnsin(nx),

Passo 9

com
bn=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx

Passo 10

Calculando
integral0^pif(x)sin(nx),dx=2sinl(npi/2r)n^2,

Passo 11

vem
bn=4pi n^2sinl(npi2r)

Passo 12

Como sin(npi/2) vale zero para n par e alterna (+1,-1) para n=1,3,5,dots, escrevemos para n=2k+1:
b2k+1=4(-1)^kpi(2k+1)^2, b2k=0

Passo 13

Daí a expansão ímpar é
fo(x)=4pisumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^2sinl((2k+1)xr)

Resposta

Extensão par:
fe(x)=pi4-2pisumk=0^inftycosl(2(2k+1)xr)(2k+1)^2
Extensão ímpar:
fo(x)=4pisumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^2sinl((2k+1)xr)

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