Questão 8. Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para, dado o trecho de função
em
, construir sua extensão par e sua extensão ímpar e, em seguida, obter as séries de Fourier correspondentes (respectivamente em cossenos e em senos). Vamos usar o intervalo padrão
e as fórmulas de série de Fourier para funções pares e ímpares.
Passo 2
Para a extensão par de
, definimos
, que é par em
. A série de Fourier de uma função par é só em cossenos:
onde
Passo 3
Calculamos primeiro
Passo 4
Logo
Passo 5
Para
$$a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx),dx
=\frac{2}{\pi n{2}}\Bigl[2\cos\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)-1-(-1){n}\Bigr].$$
Passo 6
Analisando
e
, nota-se que
só é não nulo quando
. Escrevendo
,
Passo 7
Portanto a expansão par fica
Passo 8
Para a extensão ímpar de
, definimos
. A série de Fourier de uma função ímpar é só em senos:
Passo 9
com
Passo 10
Calculando
Passo 11
vem
Passo 12
Como
vale zero para
par e alterna
para
, escrevemos para
:
Passo 13
Daí a expansão ímpar é
Resposta
Extensão par:
Extensão ímpar: