A temperatura T em(x, y, z) é dada por T(x, y, z)=6 x^2+2 y^2+4 x y+8 z^2. Em que direção T aumenta mais rapidamente no ponto (1,3,-4) ? Qual é esta taxa máxima de variação ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de temperatura $ T(x, y, z) = 6x^{2} + 2y^{2} + 4xy + 8z^{2} $. O objetivo é descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto $ (1, 3, -4) $ e qual é essa taxa máxima de variação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o gradiente de uma função. O gradiente ($ \nabla T $) é um vetor que aponta na direção em que a função $ T $ aumenta mais rapidamente. Além disso, a magnitude desse vetor nos dá a taxa máxima de aumento da função nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y, z) $. O gradiente é formado pelas derivadas parciais de $ T $ em relação a cada variável:
T(x, y, z)
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a $ x $:
T
Derivada parcial em relação a $ y $:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )
Derivada parcial em relação a $ z $:
x

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ (1, 3, -4) $ nas derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto:
(1, 3, -4)
partial Tpartial x g|(1,3,-4) = 12(1) + 4(3) = 12 + 12 = 24
partial Tpartial y g|(1,3,-4) = 4(3) + 4(1) = 12 + 4 = 16
Portanto, o gradiente no ponto $ (1, 3, -4) $ é:
partial Tpartial z g|(1,3,-4) = 16(-4) = -64

Passo 5

Esse vetor gradiente $ (24, 16, -64) $ nos indica a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. Para encontrar a direção unitária nessa direção, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividí-lo pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
(24, 16, -64)
Então, a direção unitária $ \mathbf{u} $ é:
|nabla T| = raiz24^2 + 16^2 + (-64)^2 = raiz576 + 256 + 4096 = raiz4928 approx 70.24

Passo 6

A taxa máxima de variação da temperatura é dada pela magnitude do gradiente, que já calculamos como aproximadamente 70.24. Isso significa que, naquela direção específica, a temperatura está aumentando a uma taxa de 70.24 unidades por unidade de distância.

Resposta

A temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor $ (24, 16, -64) $, ou seja, aproximadamente na direção unitária $ (0.342, 0.228, -0.912) $. A taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto é de aproximadamente 70.24 unidades por unidade de distância.

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