A temperatura
é dada por
. Em que direção
aumenta mais rapidamente no ponto
? Qual é esta taxa máxima de variação ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de temperatura $ T(x, y, z) = 6x^{2} + 2y^{2} + 4xy + 8z^{2} $. O objetivo é descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto $ (1, 3, -4) $ e qual é essa taxa máxima de variação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o gradiente de uma função. O gradiente ($ \nabla T $) é um vetor que aponta na direção em que a função $ T $ aumenta mais rapidamente. Além disso, a magnitude desse vetor nos dá a taxa máxima de aumento da função nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y, z) $. O gradiente é formado pelas derivadas parciais de $ T $ em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a $ x $:
Derivada parcial em relação a $ y $:
Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ (1, 3, -4) $ nas derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto:
Portanto, o gradiente no ponto $ (1, 3, -4) $ é:
Passo 5
Esse vetor gradiente $ (24, 16, -64) $ nos indica a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. Para encontrar a direção unitária nessa direção, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividí-lo pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, a direção unitária $ \mathbf{u} $ é:
Passo 6
A taxa máxima de variação da temperatura é dada pela magnitude do gradiente, que já calculamos como aproximadamente 70.24. Isso significa que, naquela direção específica, a temperatura está aumentando a uma taxa de 70.24 unidades por unidade de distância.
Resposta
A temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor $ (24, 16, -64) $, ou seja, aproximadamente na direção unitária $ (0.342, 0.228, -0.912) $. A taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto é de aproximadamente 70.24 unidades por unidade de distância.