Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=raizx^2+3 y^2 no ponto (-1,4, f(-1,4) ). Encontre, também, a equação da reta normal a este gráfico neste mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + 3 y^{2}} $ no ponto f(x, y) = raizx^2 + 3 y^2 . Além disso, também vamos descobrir a equação da reta normal a esse gráfico nesse mesmo ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e equações de planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(-1, 4) $. Isso significa substituir $ x = -1 $ e $ y = 4 $ na função:
f(-1, 4)
Então, o ponto em que vamos encontrar o plano tangente é x = -1 .

Passo 3

Para achar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano em cada direção.
Vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $:
f
x
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto y :
fx
fy

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo $ a = -1 $, $ b = 4 $, $ f(a, b) = 7 $, $ f_x(a, b) = -\frac{1}{7} $ e $ f_y(a, b) = \frac{12}{7} $:
a = -1
Para simplificar:
b = 4
f(a, b) = 7
fx(a, b) = -17
Multiplicando tudo por 7 para eliminar os denominadores:
fy(a, b) = 127
Então:
z = 7 - 17(x + 1) + 127(y - 4)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao gráfico no ponto (-1, 4, 7). A reta normal tem a mesma direção do vetor gradiente da função $ f $ nesse ponto, que é $ (f_x, f_y, -1) $.
Usamos o vetor gradiente que já calculamos:
f
A equação paramétrica da reta normal é então:
(fx, fy, -1)
n = ( -17, 127, -1 )
x = x0 + at
Onde $ (x_0, y_0, z_0) = (-1, 4, 7) $ e $ (a, b, c) = \left( -\frac{1}{7}, \frac{12}{7}, -1 \right) $:
y = y0 + bt
z = z0 + ct
(x0, y0, z0) = (-1, 4, 7)

Resposta

Equação do plano tangente:
7z + x - 12y = 0
Equação paramétrica da reta normal:
x = -1 - 17t y = 4 + 127t z = 7 - t

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