Calcule a integral de superfície. integral duplaS y d S, onde S é o helicoide parametrizado por r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi Passo 1Estamos com o helicoide parametrizado por vec r(u,v) = (ucos v,;usin v,;v), em 0<= u<=1, 0<= v<=pi, e queremos calcular a integral de superfície integral duplaS y,dS. O conteúdo é integral de superfície, e vamos precisar usar a fórmula integral duplaS f(x,y,z),dS = integral duplaD fl(vec r(u,v)r),l|vec rutimesvec rvr|,du,dv Passo 2Primeiro calculamos os vetores parciais: vec ru = partialpartial u(ucos v,,usin v,,v) = (cos v,,sin v,,0) vec rv = partialpartial v(ucos v,,usin v,,v) = (-usin v,,ucos v,,1) Passo 3Em seguida fazemos o produto vetorial vec rutimesvec rv. Calculando componente a componente, obtemos vec rutimesvec rv = (sin v,,-cos v,,u) Passo 4Agora calculamos a norma desse vetor, usando sin^2v+cos^2v=1: l|vec rutimesvec rvr| = raizsin^2v + (-cos v)^2 + u^2 = raiz1+u^2 Passo 5Substituímos na integral dupla. Note que y = usin v. Então integral duplaS y,dS = integralv=0^piintegralu=0^1 l(usin vr)raiz1+u^2,du,dv Passo 6Para integrar em u, usamos a substituição t=1+u^2, dt=2u,du, ou u,du = dt/2: integral0^1 uraiz1+u^2,du = 12integralt=1^2 t^1/2,dt = 12 cdot 23l[t^3/2r]1^2 = 13l(2^3/2-1r) Passo 7Fica então integral duplaS y,dS = 13l(2^3/2-1r)integral0^pisin v,dv E sabemos que integral0^pisin v,dv = 2 Passo 8Multiplicando tudo: integral duplaS y,dS = 13l(2^3/2-1r)cdot 2 = 23l(2raiz2 -1r) Resposta 23(2raiz2 -1) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos itens abaixo, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado. f(x)=1raiz[3]9 x-1 ; para x0=1 Calcule a integral integral duplaS F d S para o campo vetorial F e a superfície S abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para o exterior). F(x, y, z)=(x, y, z^2), S é a esfera de raio 1 centrada na origem Os experimentos mostram que, quando uma pulga dá um pulo, a altura atingida pelo animal (em metros) após t segundos é dada pela função H(t)=4,4 t-4,9 t^2 © Em que instante a pulga aterrissa (volta à altura inicial)? Com que taxa H(t) está variando neste instante? Está aumentando ou diminuindo?