Calcule a integral de superfície.
integral duplaS y d S, onde S é o helicoide parametrizado por r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi

Passo 1

Estamos com o helicoide parametrizado por vec r(u,v) = (ucos v,;usin v,;v), em 0<= u<=1, 0<= v<=pi, e queremos calcular a integral de superfície integral duplaS y,dS. O conteúdo é integral de superfície, e vamos precisar usar a fórmula
integral duplaS f(x,y,z),dS = integral duplaD fl(vec r(u,v)r),l|vec rutimesvec rvr|,du,dv

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores parciais:
vec ru = partialpartial u(ucos v,,usin v,,v) = (cos v,,sin v,,0)
vec rv = partialpartial v(ucos v,,usin v,,v) = (-usin v,,ucos v,,1)

Passo 3

Em seguida fazemos o produto vetorial vec rutimesvec rv. Calculando componente a componente, obtemos
vec rutimesvec rv = (sin v,,-cos v,,u)

Passo 4

Agora calculamos a norma desse vetor, usando sin^2v+cos^2v=1:
l|vec rutimesvec rvr| = raizsin^2v + (-cos v)^2 + u^2 = raiz1+u^2

Passo 5

Substituímos na integral dupla. Note que y = usin v. Então
integral duplaS y,dS = integralv=0^piintegralu=0^1 l(usin vr)raiz1+u^2,du,dv

Passo 6

Para integrar em u, usamos a substituição t=1+u^2, dt=2u,du, ou u,du = dt/2:
integral0^1 uraiz1+u^2,du = 12integralt=1^2 t^1/2,dt = 12 cdot 23l[t^3/2r]1^2 = 13l(2^3/2-1r)

Passo 7

Fica então
integral duplaS y,dS = 13l(2^3/2-1r)integral0^pisin v,dv
E sabemos que
integral0^pisin v,dv = 2

Passo 8

Multiplicando tudo:
integral duplaS y,dS = 13l(2^3/2-1r)cdot 2 = 23l(2raiz2 -1r)

Resposta

23(2raiz2 -1)

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