Calcule a integral integral duplaS F d S para o campo vetorial F e a superfície S abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para o exterior).
F(x, y, z)=(x, y, z^2), S é a esfera de raio 1 centrada na origem

Passo 1

A questão pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(x,y,z^2) através da esfera de raio 1 (fechada) centrada na origem, com orientação externa. O conteúdo é o Teorema da Divergência, e vamos precisar calcular nablacdotvec F e depois integrar no volume da bola de raio 1.

Passo 2

O primeiro passo prático é achar a divergência de vec F. Lembrando que nablacdotvec F=partialpartial x(x)+partialpartial y(y)+partialpartial z(z^2), segue:
nablacdotvec F = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência (ou Gauss), o fluxo pela superfície fechada S é igual ao integral de volume da divergência:
integral duplaS vec Fcdot dvec S = integral triplaV (nablacdotvec F) ,dV

Passo 4

Agora separamos a integral de volume em duas partes:
integral triplaV (2 + 2z),dV = 2integral triplaV dV + 2integral triplaV z,dV A bola de raio 1 tem volume tfrac4pi3, e pela simetria integral triplaV z,dV=0 (função ímpar em relação a z num domínio simétrico).

Passo 5

Calculando cada parte:
2integral triplaV dV = 2 cdot 4pi3 = 8pi3,
2integral triplaV z,dV = 2 cdot 0 = 0
Somando, o fluxo total é tfrac8pi3.

Resposta

8pi3

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