Calcule a integral
para o campo vetorial
e a superfície
abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para o exterior).
é a esfera de raio 1 centrada na origem
Passo 1
A questão pede o fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio 1 (fechada) centrada na origem, com orientação externa. O conteúdo é o Teorema da Divergência, e vamos precisar calcular
e depois integrar no volume da bola de raio 1.
Passo 2
O primeiro passo prático é achar a divergência de
. Lembrando que
, segue:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência (ou Gauss), o fluxo pela superfície fechada
é igual ao integral de volume da divergência:
Passo 4
Agora separamos a integral de volume em duas partes:
Passo 5
Calculando cada parte:
Somando, o fluxo total é
.