Nos itens abaixo, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado.
f(x)=1raiz[3]9 x-1 ; para x0=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=1raiz[3]9x-1 e a inclinação da reta tangente no ponto x0=1. Vamos usar a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Reescrevendo a função em forma de potência, fica f(x)=(9x-1)^-1/3. Assim, a parte interna é h(x)=9x-1 e a parte externa é g(u)=u^-1/3.

Passo 3

Para g(u)=u^-1/3, temos g'(u)=-tfrac13u^-4/3. Para h(x)=9x-1, h'(x)=9. Pela regra da cadeia: f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)=-tfrac13(9x-1)^-4/3cdot9=-3(9x-1)^-4/3.

Passo 4

Para achar a inclinação da reta tangente em x0=1, avaliamos f'(1)=-tfrac3(9cdot1-1)^4/3=-tfrac38^4/3=-tfrac316.

Resposta

A derivada é f'(x)=-3(9x-1)^4/3 e a inclinação da reta tangente em x0=1 é -tfrac316.

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