Calcule a integral de superfície
em que a superfície
é a equação
do plano
no primeiro octante.
do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície que é
. A superfície
é o plano dado por
, e estamos trabalhando no primeiro octante, ou seja, onde
,
e
são maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e geometria dos planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para isolar
. Assim, temos:
Mas como estamos no primeiro octante,
deve ser maior ou igual a zero. Portanto:
Aqui notamos que há um problema, porque
e
são positivos no primeiro octante, e sua soma não pode ser negativa. Isso sugere que talvez haja um erro no enunciado. Vamos verificar novamente.
Passo 3
Na verdade, devemos considerar que a equação correta do plano no primeiro octante é
. Assim, isolando
:
Agora, como
,
e
são maiores ou iguais a zero, temos as restrições:
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície. Podemos usar
e
como parâmetros, já que
está em função deles:
Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área
. Calculamos os vetores parciais:
O produto vetorial desses vetores nos dá:
Então, o módulo deste produto vetorial é:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na integral:
Onde
é a região no plano
limitada por
,
e
.
Passo 6
Vamos integrar sobre a região triangular
. Podemos estabelecer os limites de integração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Substituímos de volta na integral externa:
Vamos fazer uma substituição:
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim, a integral se torna:
Integrando:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.