Calcule a integral de superfície integral duplaS z d S em que a superfície S é a equação
do plano x+y+z+4=0 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície que é integral duplaS z , dS. A superfície S é o plano dado por x + y + z + 4 = 0, e estamos trabalhando no primeiro octante, ou seja, onde x, y e z são maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e geometria dos planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para isolar z. Assim, temos:
x + y + z + 4 = 0 implies z = -x - y - 4
Mas como estamos no primeiro octante, z deve ser maior ou igual a zero. Portanto:
-x - y - 4 >= 0 implies x + y <= -4
Aqui notamos que há um problema, porque x e y são positivos no primeiro octante, e sua soma não pode ser negativa. Isso sugere que talvez haja um erro no enunciado. Vamos verificar novamente.

Passo 3

Na verdade, devemos considerar que a equação correta do plano no primeiro octante é x + y + z = 4. Assim, isolando z:
z = 4 - x - y
Agora, como x, y e z são maiores ou iguais a zero, temos as restrições:
x >= 0, y >= 0, z >= 0 implies x + y <= 4

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície. Podemos usar x e y como parâmetros, já que z está em função deles:
r(x, y) = lang<= x, y, 4 - x - y rang<=
Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área dS. Calculamos os vetores parciais:
rx = lang<= 1, 0, -1 rang<=, ry = lang<= 0, 1, -1 rang<=
O produto vetorial desses vetores nos dá:
rx times ry = lang<= 1, 1, 1 rang<=
Então, o módulo deste produto vetorial é:
|rx times ry| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Portanto, dS = raiz3 , dx , dy.

Passo 5

Agora, substituímos z na integral:
integral duplaS z , dS = integral duplaD (4 - x - y) raiz3 , dx , dy
Onde D é a região no plano xy limitada por x >= 0, y >= 0 e x + y <= 4.

Passo 6

Vamos integrar sobre a região triangular D. Podemos estabelecer os limites de integração:
x de 0 a 4 y de 0 a 4 - x
Então, a integral fica:
raiz3 integral0^4 integral0^4 - x (4 - x - y) , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em y:
integral0^4 - x (4 - x - y) , dy = [ (4 - x)y - y^22 ]0^4 - x = (4 - x)(4 - x) - (4 - x)^22 = (4 - x)^2 - (4 - x)^22 = (4 - x)^22

Passo 8

Substituímos de volta na integral externa:
raiz3 integral0^4 (4 - x)^22 , dx = raiz32 integral0^4 (4 - x)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição: u = 4 - x, então du = -dx. Quando x = 0, u = 4; quando x = 4, u = 0. Assim, a integral se torna:
raiz32 integral4^0 u^2 (-du) = raiz32 integral0^4 u^2 , du
Integrando:
raiz32 [ u^33 ]0^4 = raiz32 ( 643 - 0 ) = 64 raiz36 = 32 raiz33

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac32,raiz33.

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