Utilize o Teorema de Green para calcular integralC x y d x+2 x d y em que C é a fronteira da região delimitada pela parábola y=4-x^2 e o eixo x no sentido anti-horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é a fronteira da região delimitada pela parábola e pelo eixo , percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green e resolver uma integral dupla.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela limita. A fórmula do teorema é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (2x)partial x = 2
partial Ppartial y = partial (x y)partial y = x
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - x

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região 4 - x^2 = 0 implies x^2 = 4 implies x = -2 ou x = 2 . A região est�� delimitada pela parábola e pelo eixo (onde ).
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos :
Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla usando os limites encontrados:
integral duplaD (2 - x) , dy , dx = integralx=-2^2 integraly=0^4 - x^2 (2 - x) , dy , dx

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^4 - x^2 (2 - x) , dy = (2 - x) cdot (4 - x^2 - 0) = (2 - x)(4 - x^2) :
8 - 2x^2 - 4x + x^3
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral-2^2 (8 - 2x^2 - 4x + x^3) , dx :
integral-2^2 8 , dx = 8x |-2^2 = 8(2) - 8(-2) = 16 + 16 = 32
Vamos dividir essa integral em partes:
integral-2^2 -2x^2 , dx = -2 cdot x^33 |-2^2 = -23(8 - (-8)) = -23 cdot 16 = -323
integral-2^2 -4x , dx = -4 cdot x^22 |-2^2 = -2(x^2)|-2^2 = -2(4 - 4) = 0
integral-2^2 x^3 , dx = x^44 |-2^2 = 164 - 164 = 0

Passo 8

Somando todas as partes:
32 - 323 + 0 + 0 = 32 - 323 = 963 - 323 = 643

Resposta

O valor da integral é .

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