Utilize o Teorema de Green para calcular em que C é a fronteira da região delimitada pela parábola e o eixo x no sentido anti-horário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é a fronteira da região delimitada pela parábola e pelo eixo , percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green e resolver uma integral dupla.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela limita. A fórmula do teorema é:
Aqui, identificamos que e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região . A região est�� delimitada pela parábola e pelo eixo (onde ).
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos :
Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla usando os limites encontrados: