Utilize o Teorema de Green para calcular
em que a curva C é a equação da Elipse
no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! A gente precisa calcular a integral de linha
onde a curva
é uma elipse dada por
, andando no sentido anti-horário. O Teorema de Green vai ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o Teorema de Green funciona. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da região
, que é a elipse
. A área de uma elipse é dada por:
onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso:
Então,
Passo 6
Finalmente, substituímos a área na integral dupla:
Resposta
A integral
é igual a
.