Utilize o Teorema de Green para calcular integralC-2 tg^-1(y) d x+2 y^2 x1+y^2 d y em que a curva C é a equação da Elipse x^236+y^225=1 no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! A gente precisa calcular a integral de linha onde a curva é uma elipse dada por , andando no sentido anti-horário. O Teorema de Green vai ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o Teorema de Green funciona. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral dupla sobre a região P = -2 arctan(y) e Q = 2 y^2 x1 + y^2 delimitada por . A fórmula é:
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x ( 2 y^2 x1 + y^2 ) = 2 y^21 + y^2 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( -2 arctan(y) ) = -2 cdot 11 + y^2 :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( 2 y^21 + y^2 - ( -21 + y^2 ) ) , dx , dy
Simplificando:
2 y^21 + y^2 + 21 + y^2 = 2(y^2 + 1)1 + y^2 = 2
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da região Área = pi times a times b , que é a elipse a = raiz36 = 6 e b = raiz25 = 5 . A área de uma elipse é dada por:
Área = pi times 6 times 5 = 30pi Á
onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso:
Então,
Á

Passo 6

Finalmente, substituímos a área na integral dupla:
integral duplaD 2 , dx , dy = 2 times Área = 2 times 30pi = 60pi Á

Resposta

A integral é igual a .

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