- Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície orientada
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
a)
, onde
é a parte do parabolóide
que está acima do quadrado
, com orientação para cima.
b)
, onde
é a parte do plano
, no primeiro octante, orientada para baixo.
c)
, onde
é a esfera
.
d)
, onde
é formada pelo parabolóide
,
e pelo círculo
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede quatro fluxos de um campo vetorial
através de superfícies
. Vamos usar parametrização de superfícies do tipo
para os itens (a) e (b), o Teorema da Divergência para o item (c) e para o item (d) observamos que a superfície é fechada (parabolóide mais tampa) e aplicamos novamente o Teorema da Divergência.
Passo 2
Para (a),
e
, sobre o quadrado
, orientação para cima. Como
, o vetor normal orientado para cima é
Em
,
, então
Expandindo e integrando em
,
Passo 3
Para (b),
e
no primeiro octante, orientada para baixo. Podemos escrever
com
em
. A normal para cima seria
, então para baixo
. Em
,
logo
Fazendo
Passo 4
Para (c),
e
é a esfera
, superfície fechada orientada para fora. Pelo Teorema da Divergência,
e o volume da bola de raio 3 é
. Assim
Passo 5
Para (d),
e
é a superfície fechada composta pelo parabolóide
,
, mais o disco
em
, orientado para fora. Temos
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total é zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)