1. Calcule a integral de superfície integral duplasigma F cdot eta d S para o campo vetorial F e a superfície orientada sigma. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
    a) F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k, onde sigma é a parte do parabolóide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, com orientação para cima.
    b) F(x, y, z)=x z e^y i-x z e^y j+z k, onde sigma é a parte do plano x+y+z=1, no primeiro octante, orientada para baixo.
    c) F(x, y, z)=x i+y j+z k, onde sigma é a esfera x^2+y^2+z^2=9.
    d) F(x, y, z)=y j-z k, onde sigma é formada pelo parabolóide y=x^2+z^2, 0 <= y <= 1 e pelo círculo x^2+z^2 <= 1, y=1.

Passo 1

O enunciado pede quatro fluxos de um campo vetorial vec F através de superfícies sigma. Vamos usar parametrização de superfícies do tipo z=f(x,y) para os itens (a) e (b), o Teorema da Divergência para o item (c) e para o item (d) observamos que a superfície é fechada (parabolóide mais tampa) e aplicamos novamente o Teorema da Divergência.

Passo 2

Para (a), vec F=(xy,,yz,,zx) e sigmacolon z=4 - x^2 - y^2, sobre o quadrado 0<= x<=1,;0<= y<=1, orientação para cima. Como z=f(x,y), o vetor normal orientado para cima é
vec n,dS = l(-fx,,-fy,,1r),dx,dy = l(2x,,2y,,1r),dx,dy
Em sigma, z=4-x^2-y^2, então
vec Fcdotvec n =xy,(2x)+y(4-x^2-y^2),(2y)+(4-x^2-y^2),x
=2x^2y+2y^2(4-x^2-y^2)+x(4-x^2-y^2)
Expandindo e integrando em [0,1]^2,
integral duplasigmavec Fcdotveceta,dS =integral0^1!!integral0^1l(4x+2x^2y -x^3 -xy^2 +8y^2 -2x^2y^2 -2y^4r),dx,dy =713180

Passo 3

Para (b), vec F=(xze^y,,-xze^y,,z) e sigmacolon x+y+z=1 no primeiro octante, orientada para baixo. Podemos escrever z=1-x-y com (x,y) em Dcolon x>=0,;y>=0,;x+y<=1. A normal para cima seria (1,1,1),dx,dy, então para baixo vec n,dS=-(1,1,1),dx,dy. Em sigma,
F1+F2+F3 =x(1-x-y)e^y - x(1-x-y)e^y + (1-x-y) =1-x-y,
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vec Fcdotvec n =-(1-x-y) =x+y-1
Fazendo
integral duplasigmavec Fcdotveceta,dS =integral0^1!!integral0^1-x(x+y-1),dy,dx =-16

Passo 4

Para (c), vec F=(x,y,z) e sigma é a esfera x^2+y^2+z^2=9, superfície fechada orientada para fora. Pelo Teorema da Divergência,
divvec F =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =3,
e o volume da bola de raio 3 é tfrac43picdot3^3=36pi. Assim
integral duplasigmavec Fcdotveceta,dS =integral triplaV3,dV =3cdot36pi =108pi

Passo 5

Para (d), vec F=(0,y,-z) e sigma é a superfície fechada composta pelo parabolóide y=x^2+z^2, 0<= y<=1, mais o disco x^2+z^2<=1 em y=1, orientado para fora. Temos
divvec F =partial 0partial x+partial ypartial y+partial(-z)partial z =1-1=0
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total é zero.

Resposta

(a) 713180
(b) -16
(c) 108pi
(d) 0

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