Calcule a integral de superficie
onde
ê a porcão do plano
no primeiro octante entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
no primeiro octante, entre
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região
que estamos integrando. O plano
no primeiro octante significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Além disso, estamos limitando
entre 0 e 1.
Passo 3
Vamos expressar
em termos de
usando a equação do plano:
. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que é o elemento de área na superfície. Para um plano
, temos
. No nosso caso, o plano é
, então
,
, e
. Assim,
.
Passo 5
Substituindo
na função que estamos integrando, temos
. Mas precisamos expressar
em termos de
e
. Como
varia de 0 a 1, e não está diretamente relacionado com
e
no plano, vamos considerar
como uma variável independente entre 0 e 1.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla. Os limites para
vão de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 a
. Também temos
variando de 0 a 1. Então a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo de volta na integral:
Finalmente, integramos em relação a
de 0 a 1:
Resposta
A integral de superfície vale
.