Calcule a integral de superficie
integral duplasigma x-y-z d S
onde sigma ê a porcão do plano x+y=1 no primeiro octante entre z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplasigma (x - y - z) , dS, onde sigma é a parte do plano x + y = 1 no primeiro octante, entre z = 0 e z = 1. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região sigma que estamos integrando. O plano x + y = 1 no primeiro octante significa que x, y e z são todos maiores ou iguais a zero. Além disso, estamos limitando z entre 0 e 1.

Passo 3

Vamos expressar y em termos de x usando a equação do plano: y = 1 - x. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, x varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para dS, que é o elemento de área na superfície. Para um plano Ax + By + Cz + D = 0, temos dS = raizA^2 + B^2 + C^2 , dx , dy. No nosso caso, o plano é x + y - 1 = 0, então A = 1, B = 1, e C = 0. Assim, dS = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 , dx , dy = raiz2 , dx , dy.

Passo 5

Substituindo y = 1 - x na função que estamos integrando, temos x - y - z = x - (1 - x) - z = 2x - 1 - z. Mas precisamos expressar z em termos de x e y. Como z varia de 0 a 1, e não está diretamente relacionado com x e y no plano, vamos considerar z como uma variável independente entre 0 e 1.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla. Os limites para x vão de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 a 1 - x. Também temos z variando de 0 a 1. Então a integral fica:
integral duplasigma (2x - 1 - z) , dS = raiz2 integral0^1 integral0^1 - x (2x - 1 - z) , dy , dx

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a y:
raiz2 integral0^1 [ (2x - 1 - z) cdot y ]0^1 - x , dx = raiz2 integral0^1 (2x - 1 - z)(1 - x) , dx

Passo 8

Agora, integramos em relação a x:
raiz2 [ integral0^1 (2x - 1)(1 - x) , dx - integral0^1 z(1 - x) , dx ]
Calculando cada parte:
Para integral0^1 (2x - 1)(1 - x) , dx:
integral0^1 (2x - 1 - 2x^2 + x) , dx = integral0^1 (-2x^2 + 3x - 1) , dx = [ -23x^3 + 32x^2 - x ]0^1 = -23 + 32 - 1 = 16
Para integral0^1 z(1 - x) , dx:
z integral0^1 (1 - x) , dx = z [ x - 12x^2 ]0^1 = z (1 - 12) = z2

Passo 9

Substituindo de volta na integral:
raiz2 ( 16 - z2 )
Finalmente, integramos em relação a z de 0 a 1:
raiz2 integral0^1 ( 16 - z2 ) , dz = raiz2 [ 16z - 14z^2 ]0^1 = raiz2 ( 16 - 14 ) = raiz2 ( -112 ) = -raiz212

Resposta

A integral de superfície vale -dfracraiz212.

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