Encontre a equação do plano tangente a superfície no ponto dado.
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto
. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e planos tangentes a superfícies definidas implicitamente, e vamos precisar usar o fato de que se
define a superfície, então o gradiente
é normal ao plano tangente.
Passo 2
Definimos a função implícita
. A superfície é o conjunto ${(x,y,z): F(x,y,z)=0}.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliamos o gradiente em
:
Passo 5
O vetor normal ao plano tangente em
é
. A equação geral do plano com normal
em
é
Passo 6
Substituindo
e
, obtemos
Passo 7
Por fim, simplificando a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é
.