Encontre a equação do plano tangente a superfície no ponto dado.
x=y^2+z^2+1, P(3,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada por x = y^2 + z^2 + 1 no ponto P(3,1,-1). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e planos tangentes a superfícies definidas implicitamente, e vamos precisar usar o fato de que se F(x,y,z)=0 define a superfície, então o gradiente nabla F(P) é normal ao plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita F(x,y,z) = x - y^2 - z^2 - 1. A superfície é o conjunto ${(x,y,z): F(x,y,z)=0}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
nabla F(x,y,z) = l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) = (1,,-2y,,-2z)

Passo 4

Avaliamos o gradiente em P(3,1,-1):
nabla F(3,1,-1) = l(1,,-2cdot1,,-2cdot(-1)r) = (1,-2,2)

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente em P é (1,-2,2). A equação geral do plano com normal (a,b,c) em (x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

Passo 6

Substituindo (a,b,c)=(1,-2,2) e (x0,y0,z0)=(3,1,-1), obtemos
1,(x-3) -2,(y-1) +2,(z+1) = 0

Passo 7

Por fim, simplificando a equação:
x - 3 -2y +2 +2z +2 = 0 Longrightarrow x -2y +2z +1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é x - 2y + 2z + 1 = 0.

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