Calcule as seguintes integrais:
integral (x^2+1)(x^2-2)x^2 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisa calcular a integral de (x^2+1)(x^2-2)x^2/3 dx. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra para simplificar a expressão e depois aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Multiplicando (x^2+1) por (x^2-2):
(x^2+1)(x^2-2) = x^2 cdot x^2 + x^2 cdot (-2) + 1 cdot x^2 + 1 cdot (-2) = x^4 - 2x^2 + x^2 - 2 = x^4 - x^2 - 2
Então, a integral fica:
integral x^4 - x^2 - 2x^2/3 dx

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por x^2/3:
x^4x^2/3 = x^4 - 23 = x^103
-x^2x^2/3 = -x^2 - 23 = -x^43
-2x^2/3 = -2x^-23
Assim, a integral simplificada fica:
integral ( x^103 - x^43 - 2x^-23 ) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência, que diz que integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Integrando cada parte:
integral x^103 dx = x^133133 = 313x^133
integral -x^43 dx = -x^7373 = -37x^73
integral -2x^-23 dx = -2 cdot x^1313 = -6x^13

Resposta

Portanto, a integral é:
313x^133 - 37x^73 - 6x^13 + C

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