Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
a) ly^prime=ln x1+y^2 y(1)=0

Passo 1

Temos um problema de valor inicial dado por y'=ln x1+y^2 com y(1)=0. É uma equação diferencial de variáveis separáveis, e para resolver vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por 1+y^2 e por dx. Assim obtemos:
(1+y^2),dy = ln x,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral(1+y^2),dy = integralln x,dx
No lado esquerdo, integral(1+y^2),dy = y + tfracy^33. No direito, usamos integração por partes: seja u=ln x e dv=dx, então du=tfrac1xdx e v=x. Logo
integralln x,dx = xln x - integral xcdot1x,dx = xln x - x + C

Passo 4

Igualando as integrais temos
y + y^33 = xln x - x + C
Para achar C, usamos a condição inicial y(1)=0:
0 + 0^33 = 1cdotln1 - 1 + C Rightarrow 0 = 0 -1 + C Rightarrow C=1

Passo 5

Substituindo C=1 na expressão geral, obtemos a solução implícita do problema de valor inicial:
y + y^33 = xln x - x + 1

Resposta

y + \tfrac{y^3}{3} = x\ln x - x + 1

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