Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
a)
Passo 1
Temos um problema de valor inicial dado por
com
. É uma equação diferencial de variáveis separáveis, e para resolver vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
. Assim obtemos:
Passo 3
Agora integramos os dois lados:
No lado esquerdo,
. No direito, usamos integração por partes: seja
e
, então
e
. Logo
Passo 4
Igualando as integrais temos
Para achar
, usamos a condição inicial
:
Passo 5
Substituindo
na expressão geral, obtemos a solução implícita do problema de valor inicial:
Resposta
y + \tfrac{y^3}{3} = x\ln x - x + 1