Calcule a integral de superficie integralegral duplaS F cdot d S, se F(x, y, z)=(y-3, y, 3 z) e S é a parte do plano 6 x+3 y+z=6 no primeiro octante, com orientação ascendente.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS para o campo F(x,y,z)=(y-3,,y,,3z) e a superfície S dada pela parte do plano 6x+3y+z=6 no primeiro octante, com orientação ascendente. O conteúdo envolvido é fluxo de campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver, vamos escrever S como gráfico z=f(x,y), usar o vetor área orientado e definir a região de integração no plano xy.

Passo 2

Escrevemos o plano como gráfico em função de x e y. Da equação 6x+3y+z=6 isolamos
z=6-6x-3y

Passo 3

Para obter o vetor área orientado para cima (orientação ascendente), usamos a fórmula
dS=(-partialx z,,-partialy z,,1),dA

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partialx z=-6 e partialy z=-3

Passo 5

Logo o vetor área fica
dS=(6,,3,,1),dA

Passo 6

Substituímos z=6-6x-3y em F e fazemos o produto escalar com dS:
F(x,y,z)=(y-3,,y,,3(6-6x-3y))
Fcdot dS=(y-3)cdot6 + ycdot3 + 3(6-6x-3y)cdot1

Passo 7

Simplificando:
6y-18+3y+18-18x-9y = -18x

Passo 8

Definimos a região de integração no plano xy, dada por x>=0,,y>=0 e 6-6x-3y>=0, isto é 2x+y<=2. Assim
integral duplaSFcdot dS = integral duplaD (-18x),dA

Passo 9

Calculamos a integral em coordenadas cartesianas:
integralx=0^1integraly=0^2-2x(-18x),dy,dx = -18integral0^1x(2-2x),dx = -18l(1-tfrac23r)= -6

Resposta

-6

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