Calcule a integral de superficie
, se
e
é a parte do plano
no primeiro octante, com orientação ascendente.
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a integral de superfície
para o campo
e a superfície
dada pela parte do plano
no primeiro octante, com orientação ascendente. O conteúdo envolvido é fluxo de campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver, vamos escrever
como gráfico
, usar o vetor área orientado e definir a região de integração no plano
.
Passo 2
Escrevemos o plano como gráfico em função de
e
. Da equação
isolamos
Passo 3
Para obter o vetor área orientado para cima (orientação ascendente), usamos a fórmula
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Logo o vetor área fica
Passo 6
Substituímos
em
e fazemos o produto escalar com
:
Passo 7
Simplificando:
Passo 8
Definimos a região de integração no plano
, dada por
e
, isto é
. Assim
Passo 9
Calculamos a integral em coordenadas cartesianas:
Resposta
-6