Seja F(x, y)=(e^-x+y, sen^3 y+3 x^2). Seja C o caminho composto pelos segmentos de reta de (0,0) a (0,2), de (0,2) a (2,0) e de (2,0) a (0,0), com C, portanto, percorrido no sentido horário. Calcule ointC F cdot d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha fechado de vec F(x,y)=(e^-x+y,,sin^3y+3x^2) ao longo de C, que é o triângulo de vértices (0,0), (0,2) e (2,0), percorrido no sentido horário. O conteúdo usado será o Teorema de Green, ajustado para orientação negativa.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Green, calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=partialpartial xl(sin^3y+3x^2r)=6x,
partial Ppartial y=partialpartial yl(e^-x+yr)=1

Passo 3

Como C está orientado no sentido horário (orientação negativa), o Teorema de Green diz
ointCvec Fcdot dvec r = -integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 4

A região D é o triângulo com vértices em (0,0), (0,2), (2,0). Podemos descrevê-la por
0<= x<= 2, 0<= y<= 2-x
Então
integral duplaD(6x-1),dA = integralx=0^2integraly=0^2-x(6x-1),dy,dx = integral0^2(6x-1)(2-x),dx
Desenvolvendo o integrando:
(6x-1)(2-x)=-6x^2+13x-2
Integramos:
integral0^2(-6x^2+13x-2),dx = l[-2x^3+tfrac132x^2-2xr]0^2 =6

Passo 5

Como o Teorema de Green pede um sinal negativo, concluímos
ointCvec Fcdot dvec r = -6

Resposta

-6

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