Seja
. Seja
o caminho composto pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e de
a
, portanto, percorrido no sentido horário. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha fechado de
ao longo de
, que é o triângulo de vértices
,
e
, percorrido no sentido horário. O conteúdo usado será o Teorema de Green, ajustado para orientação negativa.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Green, calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Como
está orientado no sentido horário (orientação negativa), o Teorema de Green diz
Passo 4
A região
é o triângulo com vértices em
,
,
. Podemos descrevê-la por
Então
Desenvolvendo o integrando:
Integramos:
Passo 5
Como o Teorema de Green pede um sinal negativo, concluímos
Resposta
-6