Seja
. Seja
o hemisfério
da esfera
, com orientação ascendente. Use o Teorema de Stokes para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma superfície
, que é o hemisfério superior da esfera
. Queremos calcular a integral de superfície
usando o Teorema de Stokes.
Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e o próprio Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência do campo
de girar em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de
, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente do rotacional para o nosso campo
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos cada termo necessário para o rotacional:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o rotacional de
, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. A fórmula é:
No nosso caso,
é o hemisfério superior da esfera de raio 3, então sua borda
é o círculo
no plano
.
Passo 6
Vamos parametrizar a curva
. No plano
, a curva é um círculo de raio 3. Podemos usar coordenadas paramétricas:
Derivando
em relação a
para obter
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
na curva
. Como
na curva:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 9
Finalmente, integramos esse resultado ao longo de
de
a
:
Resposta
A integral de superfície
vale
.