Seja F(x, y, z)=y e^z i-x cos z j+x y sen z k. Seja S o hemisfério z >= 0 da esfera x^2+y^2+z^2=9, com orientação ascendente. Use o Teorema de Stokes para calcular integralegral duplaS(rot F) cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = y e^z i - x cos z j + x y sin z k e uma superfície S, que é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=9. Queremos calcular a integral de superfície integral duplaS (rot F) cdot d S usando o Teorema de Stokes.
Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e o próprio Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência do campo F de girar em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de F, usamos a seguinte fórmula:
rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente do rotacional para o nosso campo F.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F:
Fx = y e^z, Fy = -x cos z, Fz = x y sin z
Agora, calculamos cada termo necessário para o rotacional:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y (x y sin z) = x sin z
  2. partial Fypartial z = partialpartial z (-x cos z) = x sin z
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z (y e^z) = y e^z
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x (x y sin z) = y sin z
  5. partial Fypartial x = partialpartial x (-x cos z) = -cos z
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y (y e^z) = e^z

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
rot F = ( x sin z - x sin z ) i + ( y e^z - y sin z ) j + ( -cos z - e^z ) k
Simplificando:
rot F = 0 i + ( y e^z - y sin z ) j + ( -cos z - e^z ) k

Passo 5

Agora que temos o rotacional de F, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. A fórmula é:
integral duplaS (rot F) cdot d S = ointpartial S F cdot d r
No nosso caso, S é o hemisfério superior da esfera de raio 3, então sua borda partial S é o círculo x^2 + y^2 = 9 no plano z=0.

Passo 6

Vamos parametrizar a curva partial S. No plano z=0, a curva é um círculo de raio 3. Podemos usar coordenadas paramétricas:
r(theta) = 3 cos theta , i + 3 sin theta , j + 0 k, theta in [0, 2pi]
Derivando r(theta) em relação a theta para obter d r:
d r = drdtheta , dtheta = (-3 sin theta , i + 3 cos theta , j) , dtheta

Passo 7

Agora, vamos calcular F na curva partial S. Como z=0 na curva:
F(x, y, 0) = y e^0 i - x cos 0 j + x y sin 0 k = y i - x j + 0 k
Substituindo r(theta):
F(r(theta)) = 3 sin theta , i - 3 cos theta , j

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar F cdot d r:
F cdot d r = (3 sin theta)(-3 sin theta) + (-3 cos theta)(3 cos theta) = -9 sin^2 theta - 9 cos^2 theta = -9 (sin^2 theta + cos^2 theta) = -9

Passo 9

Finalmente, integramos esse resultado ao longo de theta de 0 a 2pi:
ointpartial S F cdot d r = integral0^2pi (-9) , dtheta = -9 times 2pi = -18pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS (rot F) cdot d S vale -18pi.

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