Nos itens (a) e (b), considere F=(P, Q, R) um campo vetorial em R^3 cujas componentes P, Q, R tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo o R^3.
Se S é a superfície do cubo [0,1] times[0,1] times[0,1] com orientação positiva (para fora), encontre o valor de integralegral duplaS(rot F) cdot d S, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de nabla times vec F através da superfície fechada do cubo unitário em R^3, isto é, avaliar integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S. Vamos usar o Teorema da Divergência e a identidade que diz que a divergência de um rotacional é zero.

Passo 2

Como S é a superfície fechada do volume V=[0,1]times[0,1]times[0,1], pelo Teorema da Divergência temos:
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S = integral triplaV nablacdot(nablatimesvec F),dV

Passo 3

Recordando a identidade vetorial fundamental:
nablacdot(nablatimesvec F)=0
para qualquer campo vetorial vec F com derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Passo 4

Substituindo no integral de volume, obtemos
integral triplaV 0 ,dV = 0
Logo, o fluxo procurado é zero.

Resposta

0

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