Nos itens (a) e (b), considere
um campo vetorial em
cujas componentes
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo o
.
Se
é a superfície do cubo
com orientação positiva (para fora), encontre o valor de
, justificando sua resposta.
Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de
através da superfície fechada do cubo unitário em
, isto é, avaliar
. Vamos usar o Teorema da Divergência e a identidade que diz que a divergência de um rotacional é zero.
Passo 2
Como
é a superfície fechada do volume
, pelo Teorema da Divergência temos:
Passo 3
Recordando a identidade vetorial fundamental:
para qualquer campo vetorial
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Passo 4
Substituindo no integral de volume, obtemos
Logo, o fluxo procurado é zero.
Resposta
0