Calcule a integral de superfície.
integralegral duplaS x z d S, S é a parte do plano 2 x+3 y+z=6 que está no primeiro octante.

Passo 1

Estamos calculando uma integral de superfície de f(x,y,z)=xz sobre S, que é a parte do plano 2x+3y+z=6 no primeiro octante. Vamos usar a projeção D no plano xy e a fórmula de dS em função de dA.

Passo 2

Escrevemos o plano como z=6−2x−3y. No primeiro octante, x≥0, y≥0 e z≥0 ⇒ 6−2x−3y≥0 ⇒ 0≤y≤(6−2x)/3 e 0≤x≤3.

Passo 3

A fórmula geral é dS=raiz1+(zx)^2+(zy)^2,dA onde z_x=−2 e z_y=−3. Logo raiz1+(-2)^2+(-3)^2=raiz14

Passo 4

A integral fica integral duplaS xz,dS=raiz14integral duplaD xl(6-2x-3yr),dA com D = {(x,y):0≤x≤3,;0≤y≤(6−2x)/3}.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y: integral0^(6-2x)/3 x(6-2x-3y),dy = x(6-2x)^26 Depois em x: integral0^3 x(6-2x)^26,dx = 276=92

Passo 6

Multiplicando pelo fator raiz14, o resultado final é dfrac9raiz142.

Resposta

dfrac9raiz142

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