Calcule a integral de superfície.
é a parte do plano
que está no primeiro octante.
Passo 1
Estamos calculando uma integral de superfície de f(x,y,z)=xz sobre S, que é a parte do plano 2x+3y+z=6 no primeiro octante. Vamos usar a projeção D no plano xy e a fórmula de dS em função de dA.
Passo 2
Escrevemos o plano como z=6−2x−3y. No primeiro octante, x≥0, y≥0 e z≥0 ⇒ 6−2x−3y≥0 ⇒ 0≤y≤(6−2x)/3 e 0≤x≤3.
Passo 3
A fórmula geral é
onde z_x=−2 e z_y=−3. Logo
Passo 4
A integral fica
com D = {(x,y):0≤x≤3,;0≤y≤(6−2x)/3}.
Passo 5
Calculamos primeiro a integral em y:
Depois em x:
Passo 6
Multiplicando pelo fator
, o resultado final é
.