Determine:
lim x 0 2 x+x cos x2 sen(2 x)

Passo 1

A questão pede o cálculo de limxto02x + xcos x2sin(2x). O conteúdo aqui é limite de função e vamos usar a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em potências de x) de cos x e sin x para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, fatoramos x no numerador e escrevemos o denominador de forma clara:
numerador = 2x + xcos x = xl(2 + cos xr),
denominador = 2sin(2x)

Passo 3

Agora, aplicamos as expansões de Taylor ao redor de 0:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4),
sin(2x) = 2x - (2x)^36 + O(x^5) = 2x - 8x^36 + O(x^5) = 2x - 4x^33 + O(x^5)

Passo 4

Substituindo essas expansões:
numerador = xl(2 + 1 - x^22 + O(x^4)r) = xl(3 - x^22 + O(x^4)r) = 3x - x^32 + O(x^5),
denominador = 2l(2x - 4x^33 + O(x^5)r) = 4x - 8x^33 + O(x^5)

Passo 5

Dividindo numerador e denominador por x e levando xto0, obtemos:
3x - tfracx^32 + O(x^5)4x - tfrac8x^33 + O(x^5) = 3 - tfracx^22 + O(x^4)4 - tfrac8x^23 + O(x^4) longrightarrow 34

Resposta

34

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