Sejam
números reais com
. Calcule as integrais indefinidas.
(Dica.Calcule a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
em relação a
, onde
e
são números reais e
não é zero. Isso faz parte do estudo de integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a dica que sugere calcular a derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função é encontrar outra função cuja derivada seja a função que estamos integrando. Ou seja, se queremos
, estamos buscando uma função cujo derivado seja
.
Passo 3
Vamos seguir a dica e calcular a derivada de
. Usando a regra da cadeia para derivadas, sabemos que a derivada de
, onde
, é
.
Passo 4
Aplicando isso, temos:
Passo 5
A derivada de
em relação a
é simplesmente
. Então:
Passo 6
Isso mostra que a função
tem como derivada
. Portanto, ela é uma antiderivada de
.
Resposta
A integral indefinida é: