Sejam a, b números reais com a neq 0. Calcule as integrais indefinidas.
integral cos (a x+b) d x (Dica.Calcule a derivada de y=1a sen(a x+b))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de cos(a x + b) em relação a x, onde a e b são números reais e a não é zero. Isso faz parte do estudo de integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a dica que sugere calcular a derivada de y = 1a sin(a x + b).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função é encontrar outra função cuja derivada seja a função que estamos integrando. Ou seja, se queremos integral cos(a x + b) dx, estamos buscando uma função cujo derivado seja cos(a x + b).

Passo 3

Vamos seguir a dica e calcular a derivada de y = 1a sin(a x + b). Usando a regra da cadeia para derivadas, sabemos que a derivada de sin(u), onde u = a x + b, é cos(u) cdot u'.

Passo 4

Aplicando isso, temos:
ddx( 1a sin(a x + b) ) = 1a cdot cos(a x + b) cdot ddx(a x + b)

Passo 5

A derivada de a x + b em relação a x é simplesmente a. Então:
ddx( 1a sin(a x + b) ) = 1a cdot cos(a x + b) cdot a = cos(a x + b)

Passo 6

Isso mostra que a função 1a sin(a x + b) tem como derivada cos(a x + b). Portanto, ela é uma antiderivada de cos(a x + b).

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos(a x + b) , dx = 1a sin(a x + b) + C

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