Calcule a integral de superfície
onde
e
é parametrizada por
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de $ f(x, y, z) = xyz $ sobre a superfície $ \sigma $ parametrizada por $ \vec{r}(u, v) = (u \cos v, u \sin v, 3u) $, onde $ 1 \leq u \leq 2 $ e $ 0 \leq v \leq \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, calcular o elemento de área diferencial $ dS $ e substituir tudo na integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de superfície $ \iint_{\sigma} f(x, y, z) , dS $ pode ser calculada usando parâmetros $ u $ e $ v $ da seguinte forma:
Aqui, $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $ são as derivadas parciais da parametrização em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente, e $ \times $ significa produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização $ \vec{r}(u, v) = (u \cos v, u \sin v, 3u) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{r}_u \times \vec{r}_v $:
Calculando o determinante:
Simplificando:
E como $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma desse vetor para obter $ | \vec{r}_u \times \vec{r}_v | $:
Fatorando $ u^2 $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ f(x, y, z) = xyz $ usando a parametrização:
Passo 7
Substituindo tudo na integral de superfície:
Passo 8
Vamos calcular a integral interna em $ v $:
Podemos usar a substituição $ t = \sin v $, então $ dt = \cos v , dv $. Quando $ v = 0 $, $ t = 0 $; quando $ v = \frac{\pi}{2} $, $ t = 1 $. Assim:
Passo 9
Agora, substituindo de volta na integral principal:
Calculando a integral em $ u $:
Resposta
Substituindo tudo, temos: