Calcule a integral de superfície
integralegral duplasigma f(x, y, z) d S
onde f(x, y, z)=x y z e sigma é parametrizada por r(u, v)=(u cos v, u sen v, 3 u), onde 1 <= u <= 2 e O <= v <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de $ f(x, y, z) = xyz $ sobre a superfície $ \sigma $ parametrizada por $ \vec{r}(u, v) = (u \cos v, u \sin v, 3u) $, onde $ 1 \leq u \leq 2 $ e $ 0 \leq v \leq \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, calcular o elemento de área diferencial $ dS $ e substituir tudo na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de superfície $ \iint_{\sigma} f(x, y, z) , dS $ pode ser calculada usando parâmetros $ u $ e $ v $ da seguinte forma:
integral duplasigma f(x, y, z) , dS
Aqui, $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $ são as derivadas parciais da parametrização em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente, e $ \times $ significa produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização $ \vec{r}(u, v) = (u \cos v, u \sin v, 3u) $:
r(u, v) = (u cos v, u sin v, 3u)
ru = ( partialpartial u (u cos v), partialpartial u (u sin v), partialpartial u (3u) ) = (cos v, sin v, 3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{r}_u \times \vec{r}_v $:
ru times rv
Calculando o determinante:
ru times rv = i & j & k cos v & sin v & 3 - u sin v & u cos v & 0
Simplificando:
ru times rv = ( sin v cdot 0 - 3 cdot u cos v ) i - ( cos v cdot 0 - 3 cdot (-u sin v) ) j + ( cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v) ) k
E como $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1 $:
ru times rv = (-3u cos v) i - (3u sin v) j + (u cos^2 v + u sin^2 v) k

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma desse vetor para obter $ | \vec{r}_u \times \vec{r}_v | $:
| ru times rv |
Fatorando $ u^2 $:
| ru times rv | = raiz(-3u cos v)^2 + (-3u sin v)^2 + (u)^2 = raiz9u^2 cos^2 v + 9u^2 sin^2 v + u^2

Passo 6

Agora, vamos substituir $ f(x, y, z) = xyz $ usando a parametrização:
f(x, y, z) = xyz

Passo 7

Substituindo tudo na integral de superfície:
integral duplasigma f(x, y, z) , dS = integral1^2 integral0^pi2 3u^3 cos v sin v cdot u raiz10 , dv , du = 3 raiz10 integral1^2 u^4 ( integral0^pi2 cos v sin v , dv ) du

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em $ v $:
v
Podemos usar a substituição $ t = \sin v $, então $ dt = \cos v , dv $. Quando $ v = 0 $, $ t = 0 $; quando $ v = \frac{\pi}{2} $, $ t = 1 $. Assim:
integral0^pi2 cos v sin v , dv

Passo 9

Agora, substituindo de volta na integral principal:
3 raiz10 integral1^2 u^4 cdot 12 , du = 3 raiz102 integral1^2 u^4 , du
Calculando a integral em $ u $:
u

Resposta

Substituindo tudo, temos:
integral duplasigma f(x, y, z) , dS = 3 raiz102 cdot 315 = 93 raiz1010

Exercícios relacionados