Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ e^{\sqrt{x}} $ em relação a $ x $ e mostrar que ela é igual a $ 2 e^{\sqrt{x}}(x-1) + C $. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que temos $ e^{\sqrt{x}} $, que é uma função exponencial composta. Vamos fazer a substituição:
Seja $ t = \sqrt{x} $.
Então, $ t = x^{1/2} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ dx $ em termos de $ dt $:
Passo 4
Substituindo $ t $ e $ dx $ na integral original:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral $ \int t e^{t} , dt $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
- $ u = t $
$ du = dt $ - $ dv = e^{t} dt $
$ v = e^{t} $
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 7
Voltando à nossa substituição original $ t = \sqrt{x} $:
Agora, simplificamos $ \sqrt{x} $ de volta para $ x $:
No entanto, para corresponder exatamente ao enunciado, percebemos que a expressão já está correta após a substituição, então mantemos: