Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.
ointC x cos y d x-y sin x d y, onde C é o quadrado: (0,0),(pi2, 0),(pi2, pi2) e(0, pi2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC x cos y,dx - y sin x,dy ao longo do quadrado com vértices (0,0), (pi/2,0), (pi/2,pi/2) e (0,pi/2), usando o Teorema de Green. Vamos usar que P(x,y)=xcos y e Q(x,y)=-ysin x.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, a integral de linha se transforma na integral dupla sobre a região D interior a C:
integral duplaD (partial Qpartial x-partial Ppartial y) dA

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x=partial (-ysin x)partial x=-ycos x, partial Ppartial y=partial (xcos y)partial y=-xsin y

Passo 4

Logo o integrando fica -ycos x -(-xsin y)= -ycos x + xsin y. Montamos a integral em D=[0,pi/2]times[0,pi/2]:
integral duplaD(-ycos x + xsin y),dx,dy =integral0^pi/2integral0^pi/2(-ycos x + xsin y),dx,dy

Passo 5

Separamos em duas integrais I1 e I2:
I1=integral0^pi/2integral0^pi/2xsin y,dx,dy =integral0^pi/2sin yl(integral0^pi/2x,dxr)dy =pi^28integral0^pi/2sin y,dy =pi^28,

Passo 6

I2=integral0^pi/2integral0^pi/2ycos x,dx,dy =integral0^pi/2yl(integral0^pi/2cos x,dxr)dy =integral0^pi/2y,dy =pi^28

Passo 7

A integral de linha é I1 - I2=pi^28-pi^28=0.

Resposta

0

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