Use o fato de que um vetor w, no espaço tangente a uma superfície regular, pode ser escrito da base associada Xu, Xv de uma parametrização X, da forma w = AXu+BXv para calcular a primeira forma fundamental da superfície regular: X(u, v)=(a sinh u cos v ; b sinh u sin v ; c cosh u) hiperboloide de duas folhas.

Passo 1

O enunciado pede a primeira forma fundamental da superfície parametrizada
X(u,v) = l(asinh ucos v,;bsinh usin v,;ccosh ur),
que é dada pelos coeficientes
E = Xucdot Xu, F = Xucdot Xv, G = Xvcdot Xv
e define
I = E,du^2 + 2F,du,dv + G,dv^2

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de X:
Xu = partial Xpartial u = l(acosh ucos v,;bcosh usin v,;csinh ur),
Xv = partial Xpartial v = l(-asinh usin v,;bsinh ucos v,;0r)

Passo 3

Computar
E = Xucdot Xu = a^2cosh^2ucos^2v + b^2cosh^2usin^2v + c^2sinh^2u
Podemos agrupar como
E = cosh^2u,(a^2cos^2v + b^2sin^2v) + c^2sinh^2u

Passo 4

Computar
F = Xucdot Xv = l(acosh ucos vr)l(-asinh usin vr) +l(bcosh usin vr)l(bsinh ucos vr)
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F = -a^2cosh u,sinh u,cos vsin v + b^2cosh u,sinh u,sin vcos v = (b^2 - a^2)cosh u,sinh u,sin vcos v

Passo 5

Computar
G = Xvcdot Xv = a^2sinh^2usin^2v + b^2sinh^2ucos^2v = sinh^2u,(a^2sin^2v + b^2cos^2v)

Resposta

A primeira forma fundamental é
I = E,du^2 + 2F,du,dv + G,dv^2,
com
E = cosh^2u,(a^2cos^2v + b^2sin^2v) + c^2sinh^2u,
F = (b^2 - a^2),cosh u,sinh u,sin vcos v,
G = sinh^2u,(a^2sin^2v + b^2cos^2v)

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