Calcule a integral de superfície
, onde
é a parte da superfície da esfera
que está acima do cone
.
Passo 1
Temos que calcular a integral de superfície
, onde
é a parte da esfera
acima do cone
. O conteúdo aqui é integração sobre superfície esférica e vamos precisar usar coordenadas esféricas para parametrizar
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, fazemos
,
,
e
para raio unitário. A região acima do cone
corresponde a
, ou seja
, e
.
Passo 3
O integrando é
[“x y z = (\sin\theta\cos\phi)(\sin\theta\sin\phi)(\cos\theta) = \sin^2\theta\cos\theta,\cos\phi\sin\phi = \tfrac12\sin^2\theta\cos\theta,\sin2\phi”,“dS = \sin\theta,d\theta,d\phi”,“Logo o integrando completo fica .”].
[“x y z = (\sin\theta\cos\phi)(\sin\theta\sin\phi)(\cos\theta) = \sin^2\theta\cos\theta,\cos\phi\sin\phi = \tfrac12\sin^2\theta\cos\theta,\sin2\phi”,“dS = \sin\theta,d\theta,d\phi”,“Logo o integrando completo fica
Passo 4
Assim a integral se separa:
["\displaystyle \iint_S x y z,dS = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi/4} \tfrac12\sin^3\theta\cos\theta,\sin2\phi,d\theta,d\phi = \Bigl(\int_{0}^{\pi/4} \tfrac12\sin3\theta\cos\theta,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}{2\pi}\sin2\phi,d\phi\Bigr)."].
["\displaystyle \iint_S x y z,dS = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi/4} \tfrac12\sin^3\theta\cos\theta,\sin2\phi,d\theta,d\phi = \Bigl(\int_{0}^{\pi/4} \tfrac12\sin3\theta\cos\theta,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}{2\pi}\sin2\phi,d\phi\Bigr)."].
Passo 5
Sabendo que
, concluímos que toda a integral vale zero.
Resposta
0