Calcule a integral de superfície integralS integral x y z d S, onde S é a parte da superfície da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está acima do cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS x y z,dS, onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 acima do cone z=raizx^2+y^2. O conteúdo aqui é integração sobre superfície esférica e vamos precisar usar coordenadas esféricas para parametrizar S.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, fazemos x=sinthetacosphi, y=sinthetasinphi, z=costheta e dS=sintheta,dtheta,dphi para raio unitário. A região acima do cone z=raizx^2+y^2 corresponde a costheta>=sintheta, ou seja 0<=theta<=pi/4, e 0<=phi<=2pi.

Passo 3

O integrando é
[“x y z = (\sin\theta\cos\phi)(\sin\theta\sin\phi)(\cos\theta) = \sin^2\theta\cos\theta,\cos\phi\sin\phi = \tfrac12\sin^2\theta\cos\theta,\sin2\phi”,“dS = \sin\theta,d\theta,d\phi”,“Logo o integrando completo fica tfrac12sin^3thetacostheta,sin2phi.”].

Passo 4

Assim a integral se separa:
["\displaystyle \iint_S x y z,dS = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi/4} \tfrac12\sin^3\theta\cos\theta,\sin2\phi,d\theta,d\phi = \Bigl(\int_{0}^{\pi/4} \tfrac12\sin3\theta\cos\theta,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}{2\pi}\sin2\phi,d\phi\Bigr)."].

Passo 5

Sabendo que integral0^2pisin2phi,dphi=0, concluímos que toda a integral vale zero.

Resposta

0

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