Calcule e justifique os seguintes limites:
lim x p x^n-p^nx-p, onde n>0 é um número natural. [Dica: Use a identidade x^n-p^n= (x-p)(x^n-1+a x^n-2+a^2 x^n-3+ldots+a^n-2 x+a^n-1)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto px^n-p^nx-p, sendo n>0 natural. O conteúdo aqui é limites de forma indeterminada 0/0 e fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Usando a identidade sugerida, escrevemos a diferença de potências como
x^n - p^n = (x-p)l(x^n-1 + x^n-2p + x^n-3p^2 + cdots + xp^n-2 + p^n-1r)

Passo 3

Dividindo a identidade por (x-p), obtemos
x^n - p^nx - p = x^n-1 + x^n-2p + x^n-3p^2 + cdots + xp^n-2 + p^n-1

Passo 4

Como cada termo da soma acima é uma função contínua e, ao fazermos xto p, temos x^kp^n-1-kto p^n-1. São n termos somados, todos tendendo a p^n-1. Logo, a soma tende a n,p^n-1.

Resposta

n,p^n-1

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